Задание № 12 · ЕГЭ

Инъективная функция

Функция, которая не принимает одно и то же значение при разных аргументах

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Инъективная функция — это функция, которая каждому своему значению ставит в соответствие не более одного аргумента. Иными словами, разные аргументы не могут иметь одинаковые значения функции.

Инъективная функцияНазвание происходит от латинского injectivus — «вбрасывающий», «вкладывающий».

Функция \(f\colon X\to Y\) называется инъективной, если для любых \(x_1,x_2\in X\) из равенства \(f(x_1)=f(x_2)\) следует \(x_1=x_2\). Такое отображение называют также взаимно однозначным «слева» или вложением множества \(X\) в множество \(Y\).

Как проверить инъективность

Основной способ проверки — взять два произвольных аргумента \(x_1\) и \(x_2\), приравнять значения \(f(x_1)\) и \(f(x_2)\) и показать, что из этого получается \(x_1=x_2\). Если можно найти разные \(x_1\ne x_2\) с одинаковыми значениями, функция неинъективна.

\[f(x_1)=f(x_2)\ \Longrightarrow\ x_1=x_2\]

На графике инъективность удобно проверять правилом горизонтальной прямой: любая горизонтальная прямая должна пересекать график не более чем в одной точке. Например, линейная функция \(f(x)=kx+b\) инъективна на \(\mathbb{R}\) при \(k\ne0\), потому что она строго возрастает или строго убывает.

№

Пример

Функция \(f(x)=x^2\) на всей числовой прямой не является инъективной: \(f(2)=4\) и \(f(-2)=4\), хотя \(2\ne-2\). Если же ограничить область определения до \([0;+\infty)\), функция станет инъективной, поскольку на этом промежутке возрастает.

Не путайте с сюръективностью

Сюръективная функция принимает каждое значение из множества значений хотя бы при одном аргументе, а инъективная — не более чем при одном. Функция может быть инъективной, но не сюръективной. Инъективность особенно важна для существования обратной функции: обратная функция существует на образе исходной функции, если исходная функция инъективна.

Проверь себя

Какая функция инъективна на \(\mathbb{R}\)?

Главное за минуту

Главное

Инъективность означает: каждому значению функции соответствует не более одного аргумента.
Проверка: из \(f(x_1)=f(x_2)\) должно следовать \(x_1=x_2\); на графике горизонтальная прямая пересекает его не более одного раза.
Ограничение области определения может сделать функцию инъективной, как в случае \(x^2\) на \([0;+\infty)\).