Сложная функция
Сложная функция получается, когда значение одной функции подставляют в другую. Иными словами, сначала находят значение внутренней функции, а затем используют его как аргумент внешней функции.
Сложная функция является частным случаем понятия функции. Чтобы вычисление имело смысл, значение \(x\) должно принадлежать области определения внутренней функции, а значение \(g(x)\) — области определения внешней функции.
Формула и порядок действий
Обозначение \(f\circ g\) читают «композиция \(f\) и \(g\)». Порядок важен: сначала действует \(g\), затем \(f\). Обычно композиции \(f(g(x))\) и \(g(f(x))\) различны. Это одно из свойств, связанных с изучением свойств функции.
Пусть \(g(x)=2x-1\), а \(f(t)=t^2+3\). Тогда внутренняя функция даёт \(g(4)=7\), после чего внешняя функция даёт \(f(7)=7^2+3=52\). Значит, \((f\circ g)(4)=f(g(4))=52\). В общем виде: \(f(g(x))=(2x-1)^2+3\).
Запись \(f(g(x))\) не означает \(f(x)\cdot g(x)\) и не равна автоматически \(g(f(x))\). Например, если \(f(x)=x+1\), \(g(x)=2x\), то \(f(g(x))=2x+1\), а \(g(f(x))=2x+2\).
Пусть \(f(x)=x-3\) и \(g(x)=x^2\). Чему равно \(f(g(2))\)?
Главное
- Сложная функция имеет вид \(f(g(x))\): сначала вычисляют \(g(x)\), затем \(f\).
- Обозначение композиции: \((f\circ g)(x)=f(g(x))\).
- Порядок функций важен: обычно \(f(g(x))\ne g(f(x))\).