Связь производной и графика функции
Знак производной показывает, как меняется функция на промежутке: если производная положительна, функция возрастает, а если отрицательна — убывает. Поэтому по знакам производной можно определить поведение графика функции и найти промежутки монотонности.
Правило знаков производной
Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называют критическими. Они могут разделять область определения на промежутки. Чтобы исследовать функцию, находят производную, решают неравенства \(f'(x)>0\) и \(f'(x)<0\), а затем отмечают полученные промежутки на числовой прямой. Так определяется монотонность функции.
Рассмотрим \(f(x)=x^2-4\). Производная \(f'(x)=2x\). При \(x<0\) производная отрицательна, значит, функция убывает на \((-\infty;0)\). При \(x>0\) производная положительна, значит, функция возрастает на \((0;+\infty)\). В точке \(x=0\) производная равна нулю; это критическая точка и вершина параболы.
Равенство \(f'(x)=0\) в одной точке не означает, что функция постоянна или не возрастает на всём промежутке. Например, для \(f(x)=x^3\) производная равна нулю при \(x=0\), но функция возрастает на всей числовой прямой. Кроме того, знак производной нужно исследовать именно на промежутках, а не только в отдельных точках.
На каком промежутке функция \(f(x)=x^2+3x\) убывает?
Главное
- Положительная производная соответствует возрастанию функции, отрицательная — убыванию.
- Нули производной и точки её несуществования могут разделять промежутки монотонности.
- Для исследования сначала находят производную, затем определяют её знаки на полученных промежутках.