ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задание № 11 · ОГЭ

Исследование функции

Пошаговый алгоритм анализа графика и формулы функции
6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Исследование функции — это последовательный анализ её основных свойств: где функция определена, где равна нулю, какой знак имеет, как изменяется и где достигает наибольших или наименьших значений. Такой алгоритм помогает уверенно читать графики функций и решать задания, в которых свойства нужно определить по формуле или рисунку.

Что входит в исследование функции

При полном исследовании обычно рассматривают следующие характеристики:

  1. область определения \(D(f)\) — все допустимые значения аргумента \(x\);
  2. нули функции — значения \(x\), при которых \(f(x)=0\);
  3. промежутки знакопостоянства — где функция положительна или отрицательна;
  4. промежутки монотонности — где функция возрастает или убывает;
  5. экстремумы — точки локального максимума и минимума;
  6. дополнительные свойства: симметрия, асимптоты, пересечения с осями координат.
D
Область определения

Область определения функции — множество всех значений \(x\), при которых выражение \(f(x)\) имеет смысл. Для дроби знаменатель не должен быть равен нулю, подкоренное выражение чётной степени должно быть неотрицательным, а аргумент логарифма — положительным.

D
Нуль функции

Нуль функции — такое значение аргумента \(x_0\), при котором \(f(x_0)=0\). На графике нули — абсциссы точек пересечения графика с осью \(Ox\). Подробнее см. нули функции.

Алгоритм исследования функции

Для заданной формулой функции удобно действовать в одном и том же порядке. Это снижает риск пропустить ограничение или неверно определить знак.

  1. Найти область определения. Выписать все запрещённые значения и исключить их.
  2. Найти нули функции, решив уравнение \(f(x)=0\). Также найти значение \(f(0)\), если \(0\in D(f)\).
  3. Отметить на числовой прямой нули и точки, не входящие в область определения. Определить знак функции на полученных промежутках.
  4. Исследовать монотонность: установить промежутки возрастания и убывания. Для этого используют график, таблицу значений или производную, если она изучена.
  5. Найти экстремумы: точки, в которых функция переходит от возрастания к убыванию или наоборот.
  6. Сопоставить найденные свойства и построить либо уточнить график.
\[f(x)>0\quad\text{на промежутке, если график расположен выше оси }Ox;\qquad f(x)<0\quad\text{— если ниже оси }Ox.\]
T
Связь знака и графика

Если график пересекает ось \(Ox\) в точке с абсциссой \(x_0\), то \(x_0\) является нулём функции. Если график касается оси и не переходит на другую сторону, знак функции в этой точке может не измениться.

−4−3−2−11234−4−224681012xy0y = x² − 4
График функции \(y=x^2-4\): нули \(x=-2\) и \(x=2\), минимум в точке \((0;-4)\).

Знак и монотонность по графику

Чтобы определить знак, мысленно проводите вертикальные линии и смотрите, выше или ниже оси \(Ox\) находится график. Точки пересечения с осью не относят ни к положительным, ни к отрицательным промежуткам: в них функция равна нулю.

Для определения монотонности двигайтесь по графику слева направо. Если значения \(y\) увеличиваются, функция возрастает; если уменьшаются — убывает. Строгое определение и основные признаки собраны на странице монотонность функции.

D
Экстремум

Точка \(x_0\) называется точкой локального максимума, если в некоторой окрестности значения функции не больше \(f(x_0)\). Точка локального минимума определяется аналогично: значения рядом не меньше \(f(x_0)\). Значение \(f(x_0)\) называют экстремальным значением функции.

На графике максимум выглядит как вершина, а минимум — как впадина. Важно различать абсциссу точки экстремума и само значение функции: точка экстремума — \(x_0\), а экстремальное значение — \(f(x_0)\). Подробно это разобрано на странице экстремум функции, а термин — на странице точка экстремума.

\[x_0\text{ — точка экстремума},\qquad y_0=f(x_0)\text{ — экстремальное значение}.\]
Проверь себя

На каком промежутке функция \(f(x)=x^2-4\) отрицательна?

Разобранный пример: исследование рациональной функции

Исследуем функцию \(f(x)=\frac{x^2-4}{x-1}\) по области определения, нулям, знаку, монотонности и экстремумам.

1
1. Знаменатель не может быть равен нулю.
\(\displaystyle x-1\ne0\quad\Rightarrow\quad D(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty)\)
2
2. Нули функции находятся из условия, что числитель равен нулю, а знаменатель допустим.
\(\displaystyle x^2-4=0\quad\Rightarrow\quad (x-2)(x+2)=0\quad\Rightarrow\quad x=-2,\;x=2\)
3
3. Разобьём числовую прямую точками \(-2\) и \(1\) и проверим знак на каждом промежутке.
\(\displaystyle f(-3)=\frac{5}{-4}<0,\qquad f(0)=\frac{-4}{-1}>0,\qquad f(3)=\frac{5}{2}>0\)
4
4. Запишем промежутки знакопостоянства с учётом нулей и запрещённой точки.
\(\displaystyle f(x)<0\text{ на }(-\infty;-2);\qquad f(x)>0\text{ на }(-2;1)\cup(1;+\infty)\)
5
5. Для монотонности преобразуем выражение и найдём производную.
\(\displaystyle f(x)=x+1-\frac{3}{x-1},\qquad f'(x)=1+\frac{3}{(x-1)^2}>0\)
6
6. Производная положительна на каждом промежутке области определения.
\(\displaystyle f\text{ возрастает на }(-\infty;1)\text{ и }(1;+\infty)\)
7
7. Перехода от возрастания к убыванию или наоборот нет, поэтому экстремумов нет.
\(\displaystyle \text{Точек локального максимума и минимума нет}\)
№
Ответ к примеру

Область определения: \((-\infty;1)\cup(1;+\infty)\). Нули: \(-2\) и \(2\). Функция отрицательна на \((-\infty;-2)\) и положительна на \((-2;1)\cup(1;+\infty)\). Она возрастает на каждом промежутке области определения и не имеет экстремумов. При дальнейшем исследовании можно заметить вертикальную асимптоту \(x=1\); понятие рассматривается на странице асимптота графика.

Что помогает уточнить график

После основного алгоритма полезно проверить симметрию. Если \(f(-x)=f(x)\), функция чётная, а её график симметричен относительно оси \(Oy\). Если \(f(-x)=-f(x)\), функция нечётная, и график симметричен относительно начала координат. Для преобразований графиков полезно знать преобразования графиков функций и параллельный перенос графика.

\[f(-x)=f(x)\Rightarrow\text{чётная функция};\qquad f(-x)=-f(x)\Rightarrow\text{нечётная функция}.\]
!
Частые ошибки

1. Включают запрещённое значение в область определения. 2. Считают нулём точку, где знаменатель равен нулю. 3. Путают промежуток знакопостоянства с отдельной точкой нуля. 4. Называют максимумом наибольшее значение на всей области, хотя речь может идти о локальном максимуме. 5. По одному значению функции делают вывод о монотонности. Для сложных графиков учитывайте разрывы и отдельные промежутки области определения.

Приём для экзамена

Сначала нанесите на числовую прямую все нули и запрещённые точки. Затем составьте таблицу знаков. Для графика отдельно выпишите промежутки возрастания и убывания, не объединяя интервалы через точку разрыва.

Быстрая проверка

Q
Быстрый тест по теме

Проверьте алгоритм исследования

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · область определения
Что исключают из области определения функции \(\frac{1}{x+3}\)?
Главное за минуту

Главное

  • Исследование начинают с области определения, затем находят нули и знак функции.
  • Монотонность определяют по направлению движения графика или по знаку производной.
  • Экстремум возникает при смене возрастания на убывание или наоборот.
  • Запрещённые значения и нули нужно отмечать отдельно: первые не принадлежат области определения, вторые принадлежат ей и дают \(f(x)=0\).
  • Для полного анализа графика дополнительно проверяют симметрию, асимптоты и преобразования.