Преобразования графиков функций
Преобразования графиков позволяют быстро строить график новой функции по уже известному графику \(y=f(x)\), не составляя большую таблицу значений. Нужно определить, как изменились аргумент \(x\) и значение функции \(f(x)\): график сдвигается, растягивается, сжимается или отражается.
Базовый график и параллельный перенос
Сначала полезно вспомнить, что график функции — это множество точек \((x;f(x))\). Если известен график \(y=f(x)\), то преобразование формулы можно понимать как изменение координат каждой его точки. Основы этого понятия разобраны на странице графике функции, а общий порядок построения — на странице построении графика функции.
Параллельный перенос — это перемещение всех точек графика на один и тот же вектор, без изменения его формы и размеров. Подробное правило приведено на странице параллельном переносе графика.
График \(y=f(x-a)+b\) получается из графика \(y=f(x)\) переносом на \(a\) единиц вправо и на \(b\) единиц вверх. Если \(a<0\), перенос происходит влево; если \(b<0\) — вниз. Знак перед \(x\) внутри скобок действует противоположно привычному направлению: \(x-3\) означает вправо на \(3\), а \(x+3\) — влево на \(3\).
| Функция | Преобразование графика \(y=f(x)\) |
|---|---|
| \(y=f(x)+b\) | Сдвиг вверх на \(b\) при \(b>0\) или вниз на \(|b|\) при \(b<0\) |
| \(y=f(x-a)\) | Сдвиг вправо на \(a\) при \(a>0\) |
| \(y=f(x+a)\) | Сдвиг влево на \(a\) при \(a>0\) |
| \(y=f(x-a)+b\) | Сдвиг вправо на \(a\) и вверх на \(b\) |
Растяжение, сжатие и отражение
Изменения снаружи и внутри функции действуют по-разному. Коэффициент перед всей функцией меняет координату \(y\), а коэффициент при \(x\) внутри аргумента меняет координату \(x\).
Для графика \(y=f(x)\) справедливы правила: \(y=Af(x)\) растягивает график по вертикали в \(|A|\) раз при \(|A|>1\) и сжимает в \(|A|\) раз при \(0<|A|<1\); при \(A<0\) дополнительно происходит отражение относительно оси \(Ox\). Функция \(y=f(Bx)\) сжимает график по горизонтали в \(|B|\) раз при \(|B|>1\) и растягивает в \(|B|\) раз при \(0<|B|<1\); при \(B<0\) появляется отражение относительно оси \(Oy\).
В формуле \(y=A f(Bx)+C\) сначала удобно определить преобразование аргумента \(Bx\), затем умножение значения функции на \(A\), а в конце — вертикальный сдвиг на \(C\). Для отрицательных коэффициентов важно учитывать отражение. Например, \(y=-f(x)\) — отражение относительно \(Ox\), а \(y=f(-x)\) — относительно \(Oy\). О свойствах отражённых графиков подробнее сказано на странице симметрии графика функции.
- \(y=|f(x)|\): части графика ниже оси \(Ox\) отражаются вверх; части выше оси не меняются.
- \(y=f(|x|)\): правая часть графика отражается в левую полуплоскость, а левая часть отбрасывается.
- \(y=f(x)+C\): все значения функции увеличиваются на \(C\), поэтому график перемещается вертикально.
- \(y=A f(x)\): все ординаты умножаются на \(A\), абсциссы остаются прежними.
Изменение снаружи скобок \(f(x)\) действует по вертикали: \(+C\) — вверх, множитель \(A\) — растяжение или сжатие по вертикали. Изменение внутри скобок действует по горизонтали: \(x-a\) — вправо, множитель \(B\) — изменение масштаба по оси \(Ox\).
Из графика \(y=f(x)\) получили график \(y=f(x+4)-2\). Куда он переместился?
Алгоритм построения графика
Чтобы построить график преобразованной функции, удобно действовать по единому плану. Он особенно полезен в заданиях, где требуется сопоставить формулу и рисунок или найти координаты характерных точек.
- Определите базовую функцию \(y=f(x)\): линейную, квадратичную, обратную пропорциональность, показательную или другую. Например, для \(y=(x-3)^2+2\) базовая функция — \(y=x^2\).
- Найдите изменения внутри аргумента: сдвиг по горизонтали, отражение или изменение масштаба по оси \(Ox\).
- Найдите изменения снаружи функции: вертикальное растяжение, сжатие, отражение или сдвиг.
- Выберите несколько опорных точек базового графика и преобразуйте их координаты.
- Перенесите асимптоты, вершины, нули и другие важные элементы. Для дробных функций учитывайте страницу асимптотах графика.
- Проверьте область определения и область значений, затем соедините точки с сохранением формы графика.
Для параболы обычно достаточно вершины и двух симметричных точек. Для графика обратной пропорциональности важны асимптоты и точки в каждой ветви; свойства этого графика можно повторить на странице обратной пропорциональности. Для прямой удобно взять две точки, используя правила функции прямой пропорциональности, если она проходит через начало координат.
Разобранный пример
Построим график функции \(y=-2(x-1)^2+3\) и найдём его вершину и область значений.
Для проверки возьмём точки базовой параболы \((0;0)\), \((1;1)\) и \((-1;1)\). После преобразований получаем соответственно \((1;3)\), \((2;1)\) и \((0;1)\). Эти точки симметричны относительно прямой \(x=1\), что подтверждает положение вершины.
При решении задач на функции полезно также проверять нули, промежутки знакопостоянства и область определения. Эти свойства связаны со страницами промежутках знакопостоянства функции и исследовании функции. Если в формуле появляются логарифмы, сначала нужно учесть допустимые значения аргумента; повторите логарифмические выражения и логарифмическую функцию.
1. Считать \(f(x+3)\) сдвигом вправо: на самом деле это сдвиг влево на 3. 2. Путать вертикальное и горизонтальное растяжение: множитель снаружи меняет ординаты, множитель внутри — абсциссы. 3. Забывать отражение при отрицательном коэффициенте. 4. Переносить вершину, но не учитывать изменение направления ветвей. 5. Строить график без проверки области определения, особенно для дробных и логарифмических функций.
Быстрая проверка
Проверь основные правила
Главное
- \(y=f(x-a)+b\) — сдвиг графика вправо на \(a\) и вверх на \(b\), с учётом знаков.
- Множитель перед функцией изменяет вертикальный масштаб; множитель при \(x\) внутри аргумента — горизонтальный.
- Отрицательный множитель даёт отражение: \(-f(x)\) относительно \(Ox\), \(f(-x)\) относительно \(Oy\).
- Стройте график по базовой функции, преобразуйте опорные точки и проверяйте область определения, область значений и асимптоты.
- В заданиях ege-8 и oge-5 сначала ищите знакомый базовый график и только затем анализируйте его преобразования.