Задания № 5, 11 · ОГЭ

Обратная пропорциональность

Формула, график и свойства ветвей функции вида $y=\frac{k}{x}$

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Обратная пропорциональность — это зависимость, при которой произведение двух величин остаётся постоянным: если одна величина увеличивается в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз. Её график состоит из двух ветвей гиперболы.

Обратная пропорциональностьНазвание связано с тем, что при изменении $x$ произведение $x\cdot y=k$ сохраняется.

Функция вида $y=\frac{k}{x}$, где $k$ — ненулевое постоянное число, называется обратной пропорциональностью. Переменная $x$ не может быть равна нулю, поэтому область определения функции — все числа, кроме $0$.

Формула и график

\[y=\frac{k}{x},\qquad k\ne 0\]

Здесь $k$ называют коэффициентом обратной пропорциональности. Для построения графика удобно выбрать несколько ненулевых значений $x$ и вычислить соответствующие значения $y$. График функции называют гиперболой. Он не пересекает оси координат: прямые $x=0$ и $y=0$ являются её асимптотами.

График обратной пропорциональности $y=\frac{2}{x}$.

Свойства ветвей

Если $k>0$, ветви расположены в I и III координатных четвертях: знаки $x$ и $y$ совпадают.
Если $k<0$, ветви расположены во II и IV четвертях: знаки $x$ и $y$ противоположны.
При увеличении $|x|$ значение $|y|$ уменьшается, а при приближении $x$ к нулю значение $|y|$ возрастает.
Область значений также не содержит нуль: $y\ne0$.

№

Пример

Для функции $y=\frac{6}{x}$ при $x=2$ получаем $y=3$, а при $x=-3$ — $y=-2$. В обоих случаях произведение $x\cdot y=6$, поэтому точки $(2;3)$ и $(-3;-2)$ лежат на одном графике.

Не путайте

Обратная пропорциональность $y=\frac{k}{x}$ и прямая пропорциональность $y=kx$ — разные зависимости. У прямой пропорциональности график является прямой, проходящей через начало координат, а у обратной пропорциональности — гипербола, не проходящая через него.

Проверьте себя

В каких четвертях расположены ветви графика $y=\frac{-4}{x}$?

Главное за минуту

Главное

Обратная пропорциональность задаётся формулой $y=\frac{k}{x}$, где $k\ne0$.
График — гипербола с ветвями в I и III четвертях при $k>0$ или во II и IV при $k<0$.
Для всех точек графика выполняется равенство $x\cdot y=k$; значения $x=0$ и $y=0$ невозможны.

Формула и график

Свойства ветвей

В каких четвертях расположены ветви графика \(y=\frac{-4}{x}\)?

Главное