Графики функций с параметром
Графики функций с параметром позволяют исследовать, при каких значениях параметра графики пересекаются, касаются или не имеют общих точек. Основной приём — заменить задачу о графиках исследованием уравнения и учитывать свойства функции, известные из построения графика функции.
1. Идея метода
Пусть даны графики \(y=f(x)\) и \(y=g(x,a)\), где \(a\) — параметр. Их общие точки имеют одинаковые координаты, поэтому абсциссы точек пересечения находятся из уравнения \(f(x)=g(x,a)\). После преобразований это уравнение обычно сводят к виду \(a=F(x)\) или \(x^2+px+q=0\).
Графики пересекаются, если у них есть общая точка. Касание — особый случай пересечения, когда графики имеют общую точку и одинаковый наклон в ней. Если общих точек нет, графики не пересекаются.
В заданиях с параметром вопрос часто формулируется так: найти все значения \(a\), при которых уравнение имеет ровно одно, два или другое число корней. Геометрически это означает найти положения графика \(y=g(x,a)\) относительно графика \(y=f(x)\).
Полезно рассматривать параметр как переменную: из уравнения выразить \(a=F(x)\). Тогда нужные значения параметра — это значения функции \(F(x)\), которые соответствуют требуемому числу решений.
2. Горизонтальная прямая и число корней
Наиболее простой случай — уравнение вида \(f(x)=a\). Его можно понимать как поиск точек пересечения графика \(y=f(x)\) с горизонтальной прямой \(y=a\). Число корней зависит от множества значений функции и от того, как прямая проходит через экстремумы графика.
Чтобы определить число корней уравнения \(f(x)=a\), проведите мысленно горизонтальную прямую \(y=a\) и посчитайте точки её пересечения с графиком \(y=f(x)\). Значения \(a\), соответствующие максимумам и минимумам, являются границами промежутков.
Для квадратичной функции \(y=Ax^2+Bx+C\) сначала находят координаты вершины и направление ветвей. Если \(A>0\), вершина задаёт минимум; если \(A<0\) — максимум. Для параболы с вершиной \((x_0,y_0)\) и ветвями вверх уравнение \(f(x)=a\) имеет два корня при \(a>y_0\), один корень при \(a=y_0\) и не имеет корней при \(a<y_0\).
Если функция задана модулем, полезно раскрыть модуль по промежуткам и использовать свойства функции с модулем. При наличии нескольких ветвей графика число пересечений считают на каждой области отдельно, не забывая проверять граничные точки.
Сколько корней имеет уравнение \(x^2+1=a\) при \(a=0\)?
3. Параметризация и область значений
Если после приравнивания графиков параметр можно выразить как \(a=F(x)\), то задача превращается в исследование области значений функции \(F\). Например, условие «существует хотя бы одно пересечение» означает, что уравнение \(a=F(x)\) имеет решение, то есть \(a\) принадлежит области значений \(F\).
Пусть общие точки графиков задаются уравнением \(a=F(x)\) на области \(D\). Тогда число общих точек равно числу решений этого уравнения на \(D\). Граничные значения параметра обычно получают в точках экстремума \(F\) или на границах области определения.
Для нахождения диапазона параметра применяют таблицу знаков, исследование графика функции, производную, если она изучается в курсе, или преобразование к известному виду. В школьных заданиях часто достаточно выделить квадрат: \(x^2-2x=(x-1)^2-1\).
4. Дискриминант и условие касания
Если уравнение пересечения после преобразований является квадратным относительно \(x\), число общих точек определяют по дискриминанту. Это особенно удобно для двух прямых, прямой и параболы, а также для некоторых графиков с модулем после раскрытия по нужному промежутку.
При \(A\ne0\): если \(D>0\), есть два различных значения \(x\) и две точки пересечения; если \(D=0\), есть одна точка пересечения, обычно соответствующая касанию; если \(D<0\), действительных точек пересечения нет.
Важно проверить, что найденный корень входит в область определения исходных функций. При раскрытии модуля или возведении в квадрат могут появиться посторонние решения.
1. Считать параметр обычной фиксированной величиной и не исследовать все его значения. 2. Путать число корней уравнения с числом значений параметра. 3. Не учитывать вершину параболы или конечные точки области определения. 4. После преобразований забывать проверить исходное уравнение. 5. Называть любое пересечение касанием: для касания нужны одинаковые касательные направления.
5. Разобранный пример уровня экзамена
Найти все значения параметра \(a\), при которых графики \(y=x^2-4x+3\) и \(y=a\) имеют ровно одну общую точку.
Нужно найти такое положение горизонтальной прямой, при котором она касается параболы.
Ответ: \(a=-1\). Заметим, что абсцисса точки касания равна \(x=2\), а сама точка — \((2,-1)\). Если бы требовалось найти два пересечения, условием было бы \(D>0\), то есть \(a>-1\).
6. Универсальный алгоритм
- Запишите уравнение общих точек: \(f(x)=g(x,a)\).
- Определите область допустимых значений \(x\) и параметра.
- Выберите способ исследования: графический, через дискриминант или через выражение \(a=F(x)\).
- Найдите граничные значения параметра: вершины, экстремумы, нули дискриминанта, границы области.
- Разбейте числовую ось параметра на промежутки и установите число решений на каждом.
- Проверьте найденные значения в исходном уравнении и запишите ответ в виде промежутков или объединения промежутков.
Сначала сделайте быстрый эскиз графиков. Он помогает понять, сколько пересечений должно быть и какие значения параметра являются критическими. Затем подтвердите вывод алгебраически.
Проверь себя
Главное
- Общие точки графиков находят из уравнения \(f(x)=g(x,a)\).
- Для уравнения \(f(x)=a\) параметр задаёт горизонтальную прямую \(y=a\).
- Критические значения параметра связаны с экстремумами, вершинами и границами области определения.
- Для квадратного уравнения число пересечений определяется знаком дискриминанта.
- После любых преобразований проверяйте область допустимых значений и исходное уравнение.