Линия уровня
Линия уровня — это множество точек на координатной плоскости, в которых функция двух переменных принимает одно и то же фиксированное значение. Такие линии помогают увидеть, как меняется функция, не изображая её трёхмерный график.
Формула
Чтобы найти линию уровня, приравнивают функцию к постоянному числу \(c\) и решают полученное уравнение относительно \(x\) и \(y\).
При разных значениях \(c\) обычно получают разные линии уровня. Например, для функции \(f(x,y)=x^2+y^2\) уравнение линии уровня имеет вид \(x^2+y^2=c\). При \(c>0\) это окружность с центром в начале координат и радиусом \(\sqrt{c}\); при \(c=0\) — одна точка \((0,0)\); при \(c<0\) действительных точек нет.
Рассмотрим функцию \(f(x,y)=2x-y\). Найдём линию уровня при \(c=4\): \(2x-y=4\), или \(y=2x-4\). Это прямая. Все её точки, например \((0,-4)\) и \((2,0)\), дают одно и то же значение функции: \(4\).
Линия уровня лежит на плоскости \(Oxy\) и показывает точки \((x,y)\) с одинаковым значением \(f(x,y)\). График функции двух переменных — это поверхность в пространстве с координатами \((x,y,z)\), заданная уравнением \(z=f(x,y)\). Например, график квадратичной функции одной переменной и линия уровня — разные объекты. Линии уровня могут быть частью анализа графика квадратичной функции, но не заменяют сам график.
Какое уравнение задаёт линию уровня функции \(f(x,y)=x-y\) при значении \(c=3\)?
Главное
- Линия уровня функции \(f(x,y)\) при значении \(c\) задаётся уравнением \(f(x,y)=c\).
- Все точки одной линии уровня имеют одинаковое значение функции.
- Линия уровня находится на плоскости \(Oxy\), а график функции двух переменных является поверхностью в пространстве.