График квадратичной функции
График квадратичной функции — парабола. По её виду можно определить направление ветвей, вершину, ось симметрии, нули функции и промежутки возрастания и убывания, а затем решить задачи по графику без громоздких вычислений.
Вид и основные свойства параболы
Квадратичная функция задаётся формулой \(y=ax^2+bx+c\), где \(a\ne0\). Её график называют параболой. Коэффициент \(a\) определяет направление ветвей и «ширину» параболы, коэффициент \(c\) показывает ординату точки пересечения с осью \(Oy\), а коэффициенты \(a\) и \(b\) вместе определяют положение вершины.
Квадратичная функция — функция вида \(y=ax^2+bx+c\), где \(a\), \(b\), \(c\) — числа, а \(a\ne0\). Страница посвящена графику этой функции; общие свойства см. в квадратичной функции.
Если \(a>0\), ветви параболы направлены вверх, и в вершине находится наименьшее значение функции. Если \(a<0\), ветви направлены вниз, и в вершине находится наибольшее значение.
Точка \(V(x_в;y_в)\) — вершина параболы, а прямая \(x=x_в\) — её ось симметрии. Дискриминант \(D\) помогает определить пересечения с осью \(Ox\): при \(D>0\) есть две точки пересечения, при \(D=0\) — одна, при \(D<0\) — пересечений нет.
- Симметрия: точки с абсциссами \(x_в-t\) и \(x_в+t\) имеют одинаковые ординаты.
- Область определения: все действительные числа.
- Ось симметрии: вертикальная прямая \(x=x_в\).
- Множество значений: \(y\ge y_в\) при \(a>0\) и \(y\le y_в\) при \(a<0\).
Как построить график квадратичной функции
Для точного построения достаточно найти несколько опорных элементов. Удобнее всего действовать в таком порядке.
- Определить знак \(a\) и направление ветвей.
- Найти координаты вершины по формулам \(x_в=-\frac{b}{2a}\) и \(y_в=f(x_в)\).
- Провести ось симметрии \(x=x_в\).
- Найти точки пересечения с осями координат: с \(Oy\) — точку \((0;c)\), с \(Ox\) — корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\), если они существуют.
- Добавить симметричные точки и соединить их плавной линией.
Если функция дана в виде \(y=a(x-h)^2+k\), вершина видна сразу: \(V(h;k)\), ось симметрии имеет уравнение \(x=h\). Такой вид называют вершинной формой.
Сначала отметьте вершину и точку \((0;c)\). Затем отразите известные точки относительно оси симметрии. Для задач экзамена обычно не требуется строить много точек: важнее правильно определить вершину, нули и направление ветвей.
| Условие | Что видно по графику |
|---|---|
| Ветви вверх | \(a>0\), в вершине минимум |
| Ветви вниз | \(a<0\), в вершине максимум |
| Пересечение с \(Ox\) | Корни уравнения \(f(x)=0\) |
| Пересечение с \(Oy\) | Точка \((0;c)\) |
| График выше оси \(Ox\) | На соответствующем промежутке \(f(x)>0\) |
| График ниже оси \(Ox\) | На соответствующем промежутке \(f(x)<0\) |
Как решать задачи по графику
График позволяет отвечать на вопросы о значениях и знаках функции, корнях, промежутках монотонности и количестве решений уравнения. Важно различать абсциссу \(x\) и ординату \(y=f(x)\): значение аргумента считывают по горизонтальной оси, а значение функции — по вертикальной.
Чтобы найти корни, ищите точки пересечения параболы с осью \(Ox\). Чтобы решить уравнение \(f(x)=m\), проведите мысленно или на рисунке горизонтальную прямую \(y=m\) и посчитайте точки пересечения. Число таких точек — число решений уравнения.
Знак функции определяется положением графика относительно оси \(Ox\). На участках выше оси функция положительна, на участках ниже — отрицательна. В самих точках пересечения значение равно нулю.
Сколько решений имеет уравнение \(x^2-4=1\)?
Разобранный пример
Построим схематично график функции \(y=x^2-6x+5\) и определим её основные свойства: вершину, нули, промежутки знакопостоянства и наименьшее значение.
Функция задана формулой \(f(x)=x^2-6x+5\). Найдём элементы, необходимые для чтения графика.
Итак, вершина параболы \(V(3;-4)\), ось симметрии \(x=3\), ветви направлены вверх, а наименьшее значение равно \(-4\). Парабола пересекает ось \(Ox\) в точках \((1;0)\) и \((5;0)\), а ось \(Oy\) — в точке \((0;5)\). Функция убывает на \((-\infty;3]\) и возрастает на \([3;+\infty)\).
Показать решение задачи по графику Решение
Найдём количество решений уравнения \(f(x)=-3\). Это число точек пересечения графика с прямой \(y=-3\).
Получаем \(x=2\) и \(x=4\). Следовательно, уравнение имеет два решения. Геометрически прямая \(y=-3\) пересекает параболу по обе стороны от оси симметрии.
Монотонность и число решений
Для параболы с вершиной \(V(x_в;y_в)\) направление изменения функции определяется знаком \(a\). При \(a>0\) функция убывает до вершины и возрастает после неё. При \(a<0\) порядок меняется: сначала функция возрастает, затем убывает.
Количество решений уравнения \(f(x)=m\) удобно определять по сравнению числа \(m\) с экстремальным значением \(y_в\). Для ветвей вверх: при \(m<y_в\) решений нет, при \(m=y_в\) одно решение, при \(m>y_в\) два решения. Для ветвей вниз неравенства меняются местами.
1. Путают \(x_в=-\frac{b}{2a}\) с \(y_в\). Сначала находится абсцисса вершины, затем вычисляется её ордината. 2. Неверно определяют знак функции: точки на оси \(Ox\) не относятся ни к положительной, ни к отрицательной части. 3. Забывают, что график симметричен относительно вертикальной прямой, а не относительно оси \(Ox\). 4. При чтении графика меняют местами аргумент и значение функции.
Сначала найдите ось координат и масштаб делений. Затем определите нужную линию или уровень, проведите вертикаль или горизонталь и считайте координаты точки пересечения. Проверяйте ответ по симметрии параболы.
Связь с другими графиками
Парабола часто рассматривается вместе с линейной функцией и функцией с модулем. При решении задач с несколькими графиками важно понимать, где функции пересекаются: абсциссы точек пересечения являются решениями уравнения \(f(x)=g(x)\). Если формула содержит параметр, полезны приёмы со страницы графики функций с параметром.
Не следует смешивать свойства графика квадратичной функции с понятиями взаимно однозначности: инъективность зависит от того, сколько раз горизонтальная прямая пересекает график, а сюръективность — от множества значений и выбранного множества назначения.
Quick-test
Проверьте готовность
Главное
- Квадратичная функция имеет вид \(y=ax^2+bx+c\), а её график — парабола.
- Знак \(a\) определяет направление ветвей; вершина имеет координаты \(\left(-\frac{b}{2a};-\frac{D}{4a}\right)\).
- Ось симметрии параболы: \(x=-\frac{b}{2a}\).
- Корни функции — абсциссы точек пересечения с осью \(Ox\); точка пересечения с \(Oy\) имеет координаты \((0;c)\).
- По пересечениям графика с горизонтальными и вертикальными линиями находят число решений, значения и промежутки знакопостоянства.