Функция с модулем
Функция с модулем — это функция, в формуле которой встречается модуль выражения, например \(y=|x-2|\) или \(y=|x^2-4|\). Её график строят с учётом определения модуля: отрицательные значения выражения внутри модуля отражаются относительно оси \(Ox\).
Основное правило построения
Модуль числа определяется так: если \(a\ge 0\), то \(|a|=a\), а если \(a<0\), то \(|a|=-a\). Поэтому график графика функции \(y=|f(x)|\) получают из графика \(y=f(x)\): часть, расположенную выше или на оси \(Ox\), оставляют без изменений, а часть ниже оси отражают вверх симметрично относительно оси \(Ox\).
Сначала находят нули выражения \(f(x)\) — точки, где график пересекает ось \(Ox\). Они разделяют область определения на промежутки, на каждом из которых знак \(f(x)\) постоянен. После этого модуль раскрывают по соответствующему правилу.
Построим \(y=|x-2|\). При \(x\ge2\) имеем \(y=x-2\), а при \(x<2\) — \(y=-(x-2)=-x+2\). Получаются два луча с общей вершиной \((2;0)\): график имеет форму буквы V.
График \(y=|f(x)|\) не равен графику \(y=f(|x|)\). В первом случае отражают значения функции ниже оси \(Ox\), а во втором симметрично переносят правую часть графика относительно оси \(Oy\).
Что происходит с частью графика \(y=f(x)\), расположенной ниже оси \(Ox\), при построении \(y=|f(x)|\)?
Если модуль стоит только у переменной, например \(y=f(|x|)\), действуют другие преобразования: достаточно построить график \(y=f(x)\) для \(x\ge0\), а затем отразить его относительно оси \(Oy\). Если модуль стоит у всей функции, полезно рассматривать квадратичную функцию по промежуткам и отдельно проверять её нули.
Главное
- В \(y=|f(x)|\) отрицательные значения функции отражают вверх относительно оси \(Ox\).
- Для раскрытия модуля находят нули \(f(x)\) и определяют знак на каждом промежутке.
- \(|f(x)|\) и \(f(|x|)\) задают разные преобразования графика.