Ограниченная функция
Ограниченная функция — это функция, значения которой не выходят за некоторую границу: сверху, снизу или одновременно с обеих сторон. Ограниченность помогает описывать поведение функции и её графика на заданном множестве.
Виды ограниченности
Функция ограничена сверху на \(X\), если существует число \(B\), такое что \(f(x)\le B\) для всех \(x\in X\). Число \(B\) называют верхней границей. Функция ограничена снизу, если существует число \(A\), такое что \(f(x)\ge A\) для всех \(x\in X\); \(A\) называют нижней границей.
Если выполнено двойное неравенство, функция ограничена с обеих сторон. В частности, условие \(|f(x)|\le M\) равносильно неравенству \(-M\le f(x)\le M\). На графике функции ограниченность сверху означает, что весь график находится не выше прямой \(y=B\), а ограниченность снизу — не ниже прямой \(y=A\).
Функция \(f(x)=\sin x\) ограничена с обеих сторон, потому что для любого \(x\) выполняется \(-1\le\sin x\le1\). Значит, можно взять \(A=-1\), \(B=1\) или \(M=1\).
Ограниченная функция не обязана иметь максимум или минимум. Например, \(f(x)=x\) на интервале \((0,1)\) ограничена сверху и снизу: \(0<f(x)<1\), но ни \(0\), ни \(1\) не являются значениями функции на этом интервале. Поэтому граница может достигаться, а может только приближённо задавать предел значений.
Какое утверждение показывает, что функция ограничена на множестве \(X\)?
Главное
- Ограниченная функция имеет общую границу для всех своих значений на рассматриваемом множестве.
- Сверху: \(f(x)\le B\); снизу: \(f(x)\ge A\); с обеих сторон: \(A\le f(x)\le B\).
- Условия ограниченности зависят от множества, на котором рассматривают функцию.