Задание № 8 · ОГЭ

Квадрат многочлена

Правило возведения суммы нескольких слагаемых в квадрат

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Квадрат многочлена — это результат возведения многочлена в степень \(2\). Чтобы найти квадрат суммы нескольких слагаемых, нужно возвести в квадрат каждое слагаемое и прибавить удвоенные произведения всех различных пар слагаемых.

Квадрат многочлена

Квадрат многочлена — произведение многочлена самого на себя: \(P^2=P\cdot P\). Для раскрытия такого произведения используют умножение многочленов и группируют одинаковые слагаемые.

Формула квадрата суммы

Если сумма состоит из слагаемых \(a_1,a_2,\ldots,a_n\), то в её квадрате есть два вида слагаемых: квадраты каждого слагаемого и удвоенные произведения каждой пары. Это обобщение формулы степени суммы для второй степени.

\[(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2=a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2+2\sum_{1\le i<j\le n}a_i a_j\]

На практике формулу читают так: выписать квадраты всех слагаемых, затем найти все пары слагаемых, перемножить элементы каждой пары и каждое произведение умножить на \(2\). Каждую пару учитывают только один раз.

№

Пример

Раскроем \((x+2y+3z)^2\). Квадраты слагаемых: \(x^2\), \(4y^2\), \(9z^2\). Попарные произведения: \(xy\), \(3xz\), \(6yz\); удвоим их: \(2xy\), \(6xz\), \(12yz\). Поэтому \((x+2y+3z)^2=x^2+4y^2+9z^2+2xy+6xz+12yz\).

Не путайте

Квадрат суммы не равен сумме квадратов: \((a+b+c)^2\ne a^2+b^2+c^2\). Нельзя пропускать удвоенные попарные произведения \(2ab\), \(2ac\) и \(2bc\). Формула для трёх слагаемых подробно рассматривается на странице квадрат суммы трёх слагаемых, а общий случай — на странице квадрат суммы нескольких слагаемых.

Проверьте себя

Как раскрыть выражение \((a+b+c)^2\)?

Главное за минуту

Главное

Квадрат суммы нескольких слагаемых равен сумме квадратов слагаемых и удвоенных произведений всех пар.
Каждую пару слагаемых учитывают один раз; её произведение умножают на \(2\).
Главная ошибка — заменить квадрат суммы суммой квадратов и потерять попарные произведения.