Задания № 14, 17 · ЕГЭ

Уравнения sin x = a

Общее решение простейшего уравнения с синусом

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Уравнение $\sin x=a$ имеет решения только при $-1\le a\le 1$. Если это условие выполнено, все решения выражаются через арксинус числа $a$ и записываются двумя сериями.

Уравнение $\sin x=a$Название происходит от функции синус и латинского aequatio — «уравнение».

Простейшее тригонометрическое уравнение, в котором требуется найти все значения переменной $x$, при которых синус равен заданному числу $a$. Для записи ответа удобно использовать арксинус — обратную функцию к синусу на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$.

Формула общего решения

Сначала проверяют допустимость правой части: значения синуса находятся только в отрезке $[-1;1]$. При $-1\le a\le1$ положим $\alpha=\arcsin a$. Тогда $\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$, а все решения имеют вид:

\[x=\arcsin a+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\pi-\arcsin a+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.\]

Две серии учитывают два угла на каждом периоде, у которых одинаковый синус. Эквивалентная запись: $x=\alpha+2\pi n$ или $x=\pi-\alpha+2\pi n$, где $\alpha=\arcsin a$.

№

Пример

Решим $\sin x=\frac12$. Так как $\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6}$, получаем $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$ или $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$.

Не перепутайте

Запись $x=\arcsin a+2\pi n$ содержит только одну серию решений и потому обычно неполна. Вторую серию нельзя потерять: это $x=\pi-\arcsin a+2\pi n$. Также не следует добавлять $2\pi n$ к аргументу арксинуса: арксинус возвращает главное значение.

Проверьте себя

Как записать общее решение уравнения $\sin x=0$?

Для особых значений формулу можно упростить: при $a=1$ получается $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$, а при $a=-1$ — $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$. Если $|a|>1$, решений нет. При решении более сложных выражений полезно отличать этот случай от уравнений с косинусом и общих тригонометрических уравнений.

Главное за минуту

Главное

Проверяйте условие $-1\le a\le1$.
При допустимом $a$: $x=\arcsin a+2\pi n$ или $x=\pi-\arcsin a+2\pi n$.
Здесь $n\in\mathbb Z$; обе серии нужны для полного ответа.

Формула общего решения

Как записать общее решение уравнения \(\sin x=0\)?

Главное