Сечение шара
Сечение шара плоскостью — это круг, образованный всеми точками шара, лежащими в данной плоскости. Его радиус зависит от радиуса шара и расстояния от центра шара до плоскости.
Формулы
Пусть \(R\) — радиус шара, \(d\) — расстояние от его центра до плоскости, а \(r\) — радиус круга сечения. Отрезок радиуса шара, проведённый к точке окружности сечения, перпендикуляр к плоскости и радиус сечения образуют прямоугольный треугольник.
Формула применима при \(0\le d\le R\). Если плоскость проходит через центр шара, то \(d=0\), сечение имеет наибольший радиус \(r=R\) и площадь \(\pi R^2\). При \(d=R\) плоскость касается шара: сечение вырождается в одну точку, а площадь равна нулю. При \(d>R\) общих точек нет.
Шар имеет радиус \(R=5\), расстояние от центра до плоскости равно \(d=3\). Тогда радиус сечения \(r=\sqrt{5^2-3^2}=4\), а площадь круга сечения \(S=\pi\cdot4^2=16\pi\).
Сечение шара плоскостью — это круг, а не окружность: круг включает внутренние точки. Окружность является только границей сечения. Подробное описание построения дано на странице сечения шара плоскостью. Расстояние \(d\) берут от центра шара до плоскости, а не до её края; см. также расстояние от точки до плоскости.
Как изменится площадь сечения, если при том же радиусе шара плоскость приблизить к его центру?
Главное
- Сечение шара плоскостью — круг, его граница — окружность.
- Радиус сечения: \(r=\sqrt{R^2-d^2}\), площадь: \(S=\pi(R^2-d^2)\).
- Наибольшее сечение проходит через центр шара; при \(d>R\) плоскость шар не пересекает.