Задания № 13, 15 · ЕГЭ

Расстояние от точки до плоскости

Перпендикулярный отрезок от точки к плоскости и его длина

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Расстояние от точки до плоскости — это длина отрезка, проведённого из точки к плоскости перпендикулярно ей. Среди всех отрезков, соединяющих точку с точками плоскости, этот отрезок имеет наименьшую длину.

Пусть точка \(A\) не принадлежит плоскости \(\alpha\). Из точки \(A\) проведём перпендикуляр \(AH\) к плоскости \(\alpha\), где \(H\) — основание перпендикуляра. Расстоянием от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\) называется длина перпендикуляра \(AH\): \(\rho(A,\alpha)=AH\). Перпендикулярность прямой и плоскости означает, что прямая перпендикулярна каждой прямой плоскости, проходящей через точку их пересечения.

Формула

Если плоскость задана уравнением \(Ax+By+Cz+D=0\), а точка имеет координаты \(A_0(x_0,y_0,z_0)\), то расстояние находят по формуле. Подробнее этот способ рассматривается на странице расстояние от точки до плоскости в координатах.

\[\rho(A_0,\alpha)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\]

№

Пример

Пусть точка \(A\) находится на расстоянии \(5\) см от плоскости \(\alpha\), а наклонный отрезок \(AB\) образует с плоскостью угол \(30^\circ\). Тогда расстояние равно перпендикулярной составляющей отрезка: \(AH=AB\sin30^\circ\). Если \(AB=10\) см, то \(AH=10\cdot\frac12=5\) см.

Не путайте

Расстояние от точки до плоскости — не любой отрезок от точки до плоскости, а только перпендикуляр. Наклонный отрезок всегда не меньше расстояния: если \(AB\) наклонён к плоскости, то \(AB>AH\). Также не следует смешивать это понятие с расстоянием между параллельными плоскостями: там измеряют длину общего перпендикуляра, соединяющего две плоскости.

Проверьте себя

Точка \(A\) удалена от плоскости \(\alpha\) на \(7\) см. Какова длина перпендикуляра из \(A\) к плоскости?

Главное за минуту

Главное

Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
Перпендикуляр — кратчайший отрезок от точки до плоскости.
Для плоскости \(Ax+By+Cz+D=0\) используется формула \(\rho=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\).