Расстояние от точки до плоскости в координатах
Расстояние от точки до плоскости в координатах находят по формуле, которая использует уравнение плоскости и координаты точки. Это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
Здесь \(A\), \(B\), \(C\) — коэффициенты при координатах, а \(D\) — свободный член уравнения плоскости. Знаменатель связан с длиной нормального вектора плоскости \((A,B,C)\). Модуль в числителе нужен потому, что расстояние не может быть отрицательным.
Найдём расстояние от точки \(M(1,2,-1)\) до плоскости \(2x-y+2z-3=0\). Подставим координаты точки в числитель: \(|2\cdot1-2+2\cdot(-1)-3|=|-5|=5\). Знаменатель равен \(\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=3\). Поэтому \(d=\frac{5}{3}\).
Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, а не расстояние до произвольной точки плоскости. Также нельзя забывать делить на \(\sqrt{A^2+B^2+C^2}\): подстановка координат в левую часть уравнения даёт только числитель формулы.
Чему равно расстояние от точки \(M(0,0,0)\) до плоскости \(3x+4y-12=0\)?
Если подстановка координат точки в уравнение плоскости даёт ноль, точка лежит на плоскости, поэтому расстояние равно нулю. Понятие связано с расстоянием от точки до плоскости как с общей геометрической идеей; координатная формула — её вычислительный способ.
Главное
- Для плоскости \(Ax+By+Cz+D=0\) и точки \(M(x_0,y_0,z_0)\) используйте \(d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\).
- В числителе подставляют координаты точки, а в знаменателе берут длину нормального вектора плоскости.
- Если точка принадлежит плоскости, расстояние равно нулю.