Объём шара
Объём шара — это величина пространства, занимаемого шаром. Он вычисляется по радиусу: объём пропорционален кубу радиуса, поэтому даже небольшое изменение радиуса заметно меняет объём.
Формула
Здесь \(V\) — объём шара, \(R\) — его радиус, а \(\pi\approx3{,}14\). Если дан диаметр \(d\), сначала находят радиус: \(R=\frac d2\), а затем подставляют его в формулу.
Пусть исходный радиус равен \(R\), а новый — \(2R\). Тогда \(V_1=\frac{4}{3}\pi R^3\), а \(V_2=\frac{4}{3}\pi(2R)^3=8V_1\). Значит, при увеличении радиуса в 2 раза объём увеличивается в 8 раз.
Если диаметр увеличили в \(k\) раз, радиус также увеличился в \(k\) раз, поэтому объём изменился в \(k^3\) раз. Нельзя подставлять диаметр вместо радиуса: это даст неверный результат.
Изменение объёма
Если новый радиус в \(k\) раз больше исходного, то \(R_2=kR_1\). Поэтому отношение объёмов равно \(\frac{V_2}{V_1}=k^3\). Если радиус уменьшился в \(k\) раз, новый объём составляет \(\frac{1}{k^3}\) исходного.
Во сколько раз изменится объём шара, если его радиус увеличить в 3 раза?
Главное
- Формула объёма шара: \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\).
- Объём зависит от куба радиуса: при изменении радиуса в \(k\) раз объём изменяется в \(k^3\) раз.
- Диаметр нужно сначала разделить на 2, чтобы получить радиус.