Решение логарифмических уравнений

Логарифмическое уравнение содержит неизвестное под знаком логарифма или в его основании. Чтобы решить такое уравнение без потери и появления посторонних корней, сначала находят логарифмическое уравнение и его область допустимых значений, затем применяют подходящий метод и обязательно выполняют проверку.

ОДЗ и основные свойства

Перед преобразованиями выпишите условия существования всех логарифмов. Для выражения \(\log_a f(x)\) нужны три условия: основание положительно, основание не равно единице, аргумент положителен. Подробный алгоритм составления ОДЗ приведён в теме область допустимых значений логарифмического выражения.

Полезны также формулы перехода к новому основанию и взаимно обратные свойства: \(\log_a a=1\), \(\log_a1=0\), \(a^{\log_a b}=b\). При преобразовании логарифмических выражений следите за тем, чтобы аргументы оставались положительными; дополнительные приёмы собраны в теме преобразование логарифмических выражений.

Уравнения с одинаковыми логарифмами

Самый простой тип — \(\log_a f(x)=\log_a g(x)\). Если основание удовлетворяет условиям \(a>0\), \(a\ne1\), то логарифмическая функция строго монотонна, а значит, равенство логарифмов равносильно равенству аргументов. Это свойство рассматривается подробнее на странице свойства логарифмической функции.

Алгоритм решения: 1) записать ОДЗ \(f(x)>0\) и \(g(x)>0\); 2) приравнять аргументы; 3) решить получившееся уравнение; 4) оставить только корни из ОДЗ. Иногда часть условий автоматически выполняется после решения, но проверять это всё равно необходимо.

Переход к показательному уравнению

Если логарифм равен числу, удобно перейти к определению логарифма: \(\log_a f(x)=b\) равносильно \(f(x)=a^b\). Основание должно быть допустимым, а аргумент — положительным. Этот приём связан с показательной моделью и позволяет заменить логарифмическую запись более привычным уравнением.

Если неизвестное находится в основании, сначала проверьте условия \(x>0\) и \(x\ne1\), а затем преобразуйте уравнение. Нельзя механически переносить основание или показатель без использования определения логарифма.

Сумма и разность логарифмов

Сумму логарифмов объединяют в логарифм произведения, а разность — в логарифм частного. После этого часто получается уравнение с одинаковыми логарифмами. Но объединять выражения можно только при положительных аргументах, поэтому ОДЗ записывают до сокращения и преобразования.

При наличии коэффициентов сначала представьте их как степени или примените формулу степени. Например, \(2\log_a f(x)=\log_a(f(x))^2\), но это преобразование безопасно на ОДЗ \(f(x)>0\).

Разобранный пример с заменой

Решим уравнение экзаменационного типа: \(\log_2^2 x-3\log_2 x-4=0\). Здесь запись \(\log_2^2 x\) означает \((\log_2 x)^2\), а не \(\log_2(x^2)\).

Графический смысл и монотонность

Уравнение \(\log_a f(x)=g(x)\) можно понимать как поиск точек пересечения графиков \(y=\log_a f(x)\) и \(y=g(x)\). График логарифмической функции определён только при положительном аргументе и проходит через точку \((1,0)\). В зависимости от основания он возрастает при \(a>1\) и убывает при \(0<a<1\).

Графический подход помогает оценить число корней, но в экзаменационном решении обычно требуется точное значение. Если логарифмы и показатели встречаются одновременно, обратитесь к теме показательно-логарифмические уравнения. Для системы нескольких уравнений полезна отдельная страница логарифмические системы.

Быстрый тест