Апофема правильного многоугольника
Апофема правильного многоугольника — это радиус окружности, вписанной в многоугольник. Она соединяет центр многоугольника с серединой одной из его сторон и перпендикулярна этой стороне.
У правильного многоугольника центр равноудалён от всех сторон. Поэтому окружность с центром в центре многоугольника и радиусом, равным апофеме, касается каждой стороны. Апофема делит многоугольник на равные равнобедренные треугольники.
Формулы апофемы
Если известны сторона \(a\) и число сторон \(n\), апофему можно найти через прямоугольный треугольник, образованный половиной стороны и радиусом к вершине:
Здесь \(r\) — апофема, \(a\) — сторона, \(n\) — число сторон. Если известен радиус описанной окружности \(R\), используется другая связь: \(r=R\cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)\). Апофема также нужна в формуле площади правильного многоугольника: \(S=\frac{Pr}{2}\), где \(P\) — его периметр.
Найдём апофему квадрата со стороной \(a=6\) см. В квадрате апофема равна расстоянию от центра до стороны, то есть половине стороны: \(r=\frac{6}{2}=3\) см. Следовательно, радиус вписанной окружности равен \(3\) см.
Апофема — это радиус вписанной окружности. Радиус описанной окружности соединяет центр с вершиной многоугольника и обычно больше апофемы. Свойства вписанной окружности полезно вспомнить на странице вписанной окружности треугольника.
Чему равна апофема правильного шестиугольника со стороной \(a\)?
Главное
- Апофема — перпендикуляр из центра правильного многоугольника к его стороне.
- Апофема равна радиусу вписанной окружности.
- При известных стороне \(a\) и числе сторон \(n\): \(r=\frac{a}{2\tan(180^\circ/n)}\).