Рационализация знаменателя с одним корнем
Рационализировать знаменатель — значит преобразовать дробь так, чтобы в её знаменателе не осталось квадратного корня. Для этого числитель и знаменатель умножают на подходящий множитель, равный корню из знаменателя.
Основное правило
Если знаменатель имеет вид \(\sqrt{a}\), где \(a\ge 0\) и \(a\ne 0\), умножают дробь на \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}\). Это не изменяет значение дроби, потому что такой множитель равен единице. Получается частный случай рационализации знаменателя.
Рационализируем дробь \(\frac{5}{\sqrt{3}}\). Умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \(\frac{5}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\). В новом знаменателе корня нет.
Если перед корнем в знаменателе есть коэффициент, сначала учитывают его: \(\frac{b}{c\sqrt{a}}=\frac{b\sqrt{a}}{ca}\) при \(c\ne0\). Иногда перед рационализацией удобно выполнить вынесение множителя из-под корня или упрощение дроби с корнями.
Для знаменателя-двучлена, например \(\sqrt{a}+b\), нельзя просто умножать на один из корней. Используют сопряжённый двучлен: \(\sqrt{a}-b\). Это уже другой приём — рационализация знаменателя с двучленом.
Как рационализировать знаменатель дроби \(\frac{2}{\sqrt{7}}\)?
Главное
- Чтобы убрать один корень из знаменателя, умножьте дробь на дробь \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}\).
- Используйте равенство \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a\) и сократите полученную запись.
- Для знаменателя-двучлена нужен сопряжённый двучлен, а не этот приём.