Построение графика функции
Построение графика функции — это способ наглядно представить зависимость \(y\) от \(x\). Чтобы уверенно решать задания по теме «график функции», нужно уметь находить допустимые значения аргумента, составлять таблицу, отмечать точки, учитывать свойства функции и распознавать преобразования знакомого графика.
1. Что такое график функции
График функции \(y=f(x)\) — множество всех точек координатной плоскости с координатами \((x;f(x))\), где \(x\) принадлежит области определения функции. Каждому допустимому значению \(x\) соответствует ровно одно значение \(y\).
График функции \(y=f(x)\) состоит из точек \((x;y)\), для которых \(y=f(x)\). Первая координата точки — аргумент, вторая — значение функции.
Для проверки рисунка используют вертикальную прямую: если она пересекает изображение более чем в одной точке, изображение не является графиком функции \(y=f(x)\).
Чтобы построить график по формуле, выбирают несколько значений \(x\) из области определения, вычисляют соответствующие значения \(y\), отмечают точки \((x;y)\) и соединяют их плавной линией с учётом вида функции.
2. Построение по таблице значений
Таблица значений особенно удобна для линейных, квадратичных, обратных и других функций, если вид графика ещё не изучен или требуется построить несколько точек. Значения выбирают так, чтобы вычисления были простыми и чтобы точки покрывали нужную часть координатной плоскости.
- Найти область определения функции.
- Выбрать несколько допустимых значений \(x\), включая удобные и, если нужно, значения около особых точек.
- Вычислить \(f(x)\) и записать пары \((x;f(x))\).
- Нанести точки на координатную плоскость.
- Соединить точки с учётом непрерывности, симметрии, разрывов и направления ветвей.
| \(x\) | \(y=x^2-4\) | Точка |
|---|---|---|
| \(-2\) | \(0\) | \((-2;0)\) |
| \(-1\) | \(-3\) | \((-1;-3)\) |
| \(0\) | \(-4\) | \((0;-4)\) |
| \(1\) | \(-3\) | \((1;-3)\) |
| \(2\) | \(0\) | \((2;0)\) |
Для функции \(y=x^2-4\) значения при противоположных аргументах совпадают: \(f(-x)=f(x)\). Поэтому её график симметричен относительно оси \(Oy\). Вершина параболы находится в точке \((0;-4)\).
Сначала отмечайте ключевые точки: пересечения с осями, вершину, начало координат, точки разрыва. Затем добавляйте промежуточные точки. Это уменьшает число вычислений и помогает заметить ошибку.
Какая точка принадлежит графику функции \(y=2x-1\)?
3. Преобразования знакомых графиков
График часто строят не с нуля, а из известного графика. Подробные правила собраны на странице преобразования графиков функций, но основные случаи полезно помнить.
График \(y=f(x)+b\) получается вертикальным переносом графика \(y=f(x)\) на \(b\) единиц: вверх при \(b>0\) и вниз при \(b<0\).
График \(y=f(x-a)\) переносится вправо на \(a\) единиц, а график \(y=f(x+a)\) — влево на \(a\) единиц.
График отражается относительно оси \(Ox\). Формула \(y=f(-x)\) задаёт отражение относительно оси \(Oy\).
Часть графика, расположенная ниже оси \(Ox\), отражается вверх; часть выше оси остаётся без изменения.
В выражении \(f(x-a)\) знак воспринимают как обычное смещение влево. На самом деле график смещается вправо на \(a\). Удобно проверить это по точке: если \((x_0;y_0)\) была на графике \(y=f(x)\), то на графике \(y=f(x-a)\) ей соответствует \((x_0+a;y_0)\).
4. Построение по свойствам функции
Иногда формула сложная, но в условии известны нули, промежутки возрастания и убывания, симметрия или точки пересечения с осями. Тогда график строят по этим свойствам. Знание нуля функции помогает найти пересечения с осью \(Ox\), а значение функции при \(x=0\) — пересечение с осью \(Oy\).
- Если \(f(x)=0\), график пересекает или касается оси \(Ox\).
- Точка пересечения с осью \(Oy\) имеет координаты \((0;f(0))\), если \(0\) входит в область определения.
- Чётная функция симметрична относительно оси \(Oy\): \(f(-x)=f(x)\).
- Нечётная функция симметрична относительно начала координат: \(f(-x)=-f(x)\).
- На промежутках возрастания функции график идёт слева направо вверх, а на промежутках убывания функции — вниз.
Если функция непрерывна на промежутке, соседние точки соединяют плавной линией. В точках, исключённых из области определения, линию не проводят. При разрыве, вертикальной или горизонтальной асимптоте ветви графика строят отдельно.
Для дробно-рациональной функции сначала находят запрещённые значения \(x\), затем при необходимости исследуют поведение около них. Для \(y=\frac{1}{x}\) оси координат являются асимптотами: график состоит из двух ветвей и не пересекает ни одну из осей.
Построим график \(y=|x-2|+1\).
График не пересекает ось \(Ox\), потому что \(|x-2|\ge 0\), значит \(y=|x-2|+1\ge1\). Пересечение с осью \(Oy\) — точка \((0;3)\).
При чтении графика сначала смотрят на оси и масштаб, затем находят нужную координату. Чтобы найти \(f(a)\), проводят вертикаль \(x=a\) до графика, а затем горизонталь к оси \(Oy\). Чтобы решить \(f(x)=b\), ищут абсциссы точек пересечения графика с прямой \(y=b\).
5. Как проверять готовый график
После построения выполните короткую проверку. Подставьте в формулу одну-две отмеченные точки, проверьте область определения, симметрию и направление ветвей. Сверьте пересечения с осями и вершины. Если график строился преобразованием, проверьте, что ключевая точка переместилась именно в нужную сторону.
Не соединяйте точки через запрещённое значение аргумента. Не путайте координаты \((x;y)\) и \((y;x)\). Не забывайте, что \(y=f(x-a)\) означает сдвиг вправо. При построении \(|f(x)|\) отражайте только отрицательную часть графика. Нельзя делать вывод о всей функции по одной-двум точкам.
Быстрая проверка
Главное
- График функции состоит из точек \((x;f(x))\), где \(x\) принадлежит области определения.
- Для построения по формуле составляют таблицу, отмечают точки и соединяют их с учётом свойств функции.
- Сдвиг \(f(x)+b\) происходит по вертикали, а \(f(x-a)\) — вправо на \(a\).
- Нули дают пересечения с осью \(Ox\), значение \(f(0)\) — пересечение с осью \(Oy\).
- Перед ответом проверяйте область определения, масштаб, симметрию, ключевые точки и отсутствие лишних соединений.