Число диагоналей многоугольника
Число диагоналей выпуклого многоугольника — это количество отрезков, соединяющих его несоседние вершины. Для многоугольника с \(n\) вершинами оно вычисляется по формуле \(\frac{n(n-3)}{2}\).
Формула числа диагоналей
Из каждой вершины выпуклого \(n\)-угольника можно провести диагонали к \(n-3\) вершинам: одну вершину нельзя выбрать из-за совпадения, а две — потому что они соседние. Так как каждая диагональ посчитана дважды — из каждой из своих вершин, — результат делят на 2. Эта тема связана с суммой углов многоугольника, где также используется число вершин \(n\).
Здесь \(d\) — число диагоналей, а \(n\) — число вершин многоугольника. Формула применима при \(n\ge 3\).
У четырёхугольника \(n=4\) вершины. Подставим это значение в формулу: \(d=\frac{4(4-3)}{2}=\frac{4}{2}=2\). Значит, у любого выпуклого четырёхугольника две диагонали. Подробнее этот частный случай разобран на странице диагонали четырёхугольника.
Стороны соединяют соседние вершины, а диагонали — только несоседние. Поэтому у треугольника нет диагоналей: каждая пара его вершин соединена стороной. Не следует также считать отрезки из одной вершины дважды.
Сколько диагоналей у выпуклого пятиугольника?
Главное
- Диагональ соединяет две несоседние вершины многоугольника.
- Для выпуклого \(n\)-угольника число диагоналей равно \(d=\frac{n(n-3)}{2}\).
- При подсчёте сначала учитывают \(n-3\) диагонали из каждой вершины, затем делят результат на 2.