Показательная функция
Показательная функция — это функция, в которой переменная находится в показателе степени: \(y=a^x\). Её график и основные свойства зависят от основания \(a\).
Формула и основные свойства
Область определения показательной функции — все действительные числа: \(x\in\mathbb{R}\). Область значений — только положительные числа: \(y>0\). Поэтому график не пересекает ось \(Ox\). При любом допустимом основании \(a^0=1\), значит, график проходит через точку \((0;1)\).
Если \(a>1\), функция возрастает: при увеличении \(x\) значение \(a^x\) увеличивается. Если \(0<a<1\), функция убывает: при увеличении \(x\) значение \(a^x\) уменьшается. График показательной функции подробно рассматривается на странице график показательной функции, а все свойства собраны в статье свойства показательной функции.
| Условие на основание | Поведение функции | Предел при \(x\to+\infty\) |
|---|---|---|
| \(a>1\) | Возрастает | \(+\infty\) |
| \(0<a<1\) | Убывает | \(0\) |
Рассмотрим \(y=2^x\). Основание \(2>1\), поэтому функция возрастает. Несколько точек её графика: \((-1;\frac12)\), \((0;1)\) и \((1;2)\). Для функции \(y=\left(\frac12\right)^x\) основание находится между \(0\) и \(1\), поэтому она убывает.
Показательная функция \(y=a^x\) и степенная функция \(y=x^a\) — разные понятия. В первой переменная находится в показателе степени, во второй — в основании. Свойства у них различаются.
Какой вид имеет показательная функция с убывающим графиком?
Показательные функции используются при изучении показательных неравенств, где важно учитывать, возрастает или убывает функция.
Главное
- Показательная функция имеет вид \(y=a^x\), где \(a>0\) и \(a\ne1\).
- Её область определения — \(\mathbb{R}\), область значений — \(y>0\); график проходит через \((0;1)\).
- При \(a>1\) функция возрастает, а при \(0<a<1\) — убывает.