Начало отсчёта и единичный отрезок
Чтобы построить координатную прямую, нужно задать три элемента: начало отсчёта, направление и единичный отрезок. После этого каждой точке на прямой можно сопоставить число — её координату, а по координате восстановить положение точки.
Что нужно для построения координатной прямой
Числовая прямая — это прямая, на которой выбраны начало отсчёта, положительное направление и единичный отрезок. Эти данные образуют систему отсчёта. Без них сама прямая не позволяет однозначно определить, какое число соответствует каждой точке.
Начало отсчёта — точка \(O\), которой приписывают координату \(0\). От неё отсчитывают положения всех остальных точек. Начало отсчёта также называют началом координат; подробнее это понятие разобрано на странице начала координат.
Единичный отрезок — отрезок, длина которого принята за одну единицу. Обычно его концами являются начало отсчёта \(O\) и точка \(E\) с координатой \(1\). Выбор единичного отрезка задаёт масштаб прямой.
Положительное направление показывает, в какую сторону координаты увеличиваются. На рисунках его обычно отмечают стрелкой. Если двигаться в эту сторону на один единичный отрезок, координата увеличивается на \(1\); в противоположную сторону — уменьшается на \(1\).
Пошаговое построение
Построение начинают с произвольной прямой. Затем на ней отмечают точку \(O\) и записывают рядом число \(0\). В выбранную сторону откладывают отрезок \(OE\), равный одной принятой единице, и отмечают точку \(E\) числом \(1\). После этого единичный отрезок можно многократно откладывать в обе стороны.
- Провести прямую и выбрать на ней точку \(O\).
- Приписать точке \(O\) координату \(0\).
- Выбрать положительное направление и поставить стрелку.
- Отложить в положительном направлении единичный отрезок \(OE\).
- Разметить соседние точки числами \(1,2,3,\ldots\) вправо и \(-1,-2,-3,\ldots\) влево, если направление выбрано вправо.
При равных единичных отрезках соседние целые числа находятся на одинаковом расстоянии. Дробные числа располагаются между целыми: например, точка с координатой \(\frac{1}{2}\) находится посередине между \(0\) и \(1\), а точка с координатой \(-\frac{3}{2}\) — посередине между \(-1\) и \(-2\).
Если единичный отрезок отложен от начала отсчёта \(n\) раз в положительном направлении, точка имеет координату \(n\). Если он отложен \(n\) раз в противоположном направлении, точка имеет координату \(-n\). В общем случае координата показывает не только расстояние от \(O\), но и сторону расположения точки.
Как читать координаты по прямой
Чтобы определить координату точки, сначала находят её расстояние от начала отсчёта в единичных отрезках, затем учитывают направление. Точки справа от \(O\) имеют положительные координаты, точки слева — отрицательные, а сама точка \(O\) имеет координату \(0\).
Формула (1) особенно полезна, когда на рисунке указан не один единичный отрезок, а его длина в сантиметрах или другой мерке. Знак выбирают по положению точки: «плюс» для положительного направления и «минус» для противоположного.
На координатной прямой точка \(A\) находится слева от \(O\) на два единичных отрезка. Какова её координата?
Связь координаты и расстояния
Координата и расстояние — не одно и то же. Расстояние от точки до начала отсчёта всегда неотрицательно, а координата может быть положительной, отрицательной или нулевой. Например, точки с координатами \(3\) и \(-3\) находятся на одинаковом расстоянии от \(O\), но по разные стороны от него.
Знак координаты определяется направлением, а модуль координаты — расстоянием до начала отсчёта в единичных отрезках. Эта идея используется при изучении расстояния между точками на прямой.
На прямой единичный отрезок равен \(2\) см. Точка \(O\) имеет координату \(0\), положительное направление направлено вправо. Точка \(A\) расположена на \(6\) см правее \(O\). Найдём её координату.
Жауабы: \(A(3)\). Если бы точка находилась на \(6\) см левее \(O\), её координата была бы \(-3\).
Изменение масштаба и направления
Одна и та же геометрическая прямая может иметь разные координатные системы. Если изменить длину единичного отрезка, координаты точек изменятся. Например, расстоянию \(6\) см соответствуют координаты \(3\), если единичный отрезок равен \(2\) см, и \(6\), если единичный отрезок равен \(1\) см. Поэтому перед чтением координат обязательно проверяют масштаб; отдельная бет о нём — масштаб координатной прямой.
При смене положительного направления знаки координат меняются местами: точка, которая имела координату \(4\), получит координату \(-4\), если начало отсчёта и единичный отрезок остаются теми же, а направление выбирают противоположным.
1. Считать координатой расстояние до \(O\) и забывать знак. Расстояние \(5\) единиц слева соответствует координате \(-5\).<br>2. Не учитывать масштаб рисунка: сантиметр на листе не всегда равен одной единице.<br>3. Принимать любую отмеченную точку за начало отсчёта. Началом является только точка, которой приписано \(0\).<br>4. Отсчитывать деления от края рисунка, а не от точки \(O\).<br>5. Путать точку и её координату: правильно писать \(A(3)\) или «координата точки \(A\) равна \(3\)», а не называть точку числом \(3\).
Проведите мысленно путь от \(O\) к нужной точке: посчитайте единичные отрезки и определите сторону. Затем проверьте формулой (1), если известна длина единичного отрезка.
Связь с выражениями и заданиями
Координатная прямая помогает сравнивать числа, находить значения выражений и изображать числовые промежутки на прямой. Чем правее расположена точка, тем больше её координата. При решении задания сначала определяют начало отсчёта и единичный отрезок, а затем переводят положение точки в число. Если требуется вычислить координату точки после преобразований, полезно вспомнить координату числа и правила значения выражения.
Быстрая проверка
Главное
- Координаттық түзу задаётся началом отсчёта, положительным направлением и единичным отрезком.
- Начало отсчёта \(O\) имеет координату \(0\), а единичный отрезок имеет длину, принятую за \(1\).
- Координата учитывает и расстояние от \(O\), и сторону: справа — плюс, слева — минус.
- Если единичный отрезок равен \(u\), то число единичных отрезков до точки находят делением расстояния на \(u\).
- Модуль координаты равен расстоянию от точки до начала отсчёта; знак координаты определяется направлением.