Расположение чисел на прямой
[[number-line:Числовая прямая]] помогает наглядно сравнивать числа и определять их положение. На ней каждому числу соответствует единственная точка, а направление вправо считается положительным.
Как устроена числовая прямая
Чтобы построить числовую прямую, проводят прямую линию, выбирают на ней [[coordinate-origin:начало координат]] \(O\), положительное направление и [[unit-segment:единичный отрезок]]. Начало координат обозначают числом \(0\). Единичный отрезок задаёт масштаб: расстояние от \(0\) до \(1\) принимают за одну единицу.
На прямой отмечают точку \(1\) справа от \(0\) на расстоянии одного единичного отрезка. Точки \(2, 3, 4\) и другие положительные числа располагаются ещё правее. Слева от нуля находятся отрицательные числа: \(-1, -2, -3\) и так далее.
Числовая прямая — это прямая с выбранными началом отсчёта, положительным направлением и единичным отрезком. Каждому числу соответствует точка этой прямой, а каждой точке — её [[coordinate-point:координата]].
[[number-ray:Числовой луч]] — часть числовой прямой, которая начинается в точке \(0\) и продолжается в положительном направлении. На числовом луче обычно изображают неотрицательные числа: \(0, 1, 2, \ldots\).
Координата точки и изображение числа
Координата точки показывает, какое число изображено в этой точке. Если точка \(A\) находится справа от нуля на расстоянии \(3\) единичных отрезка, то её координата равна \(3\), записывают \(A(3)\). Если точка \(B\) находится слева от нуля на расстоянии \(2\) единичных отрезка, то \(B(-2)\).
Для изображения числа отсчитывают от нуля нужное количество единичных отрезков. Для положительного числа двигаются вправо, для отрицательного — влево. Дробь или десятичное число отмечают между соседними целыми точками в соответствии с масштабом.
Если один единичный отрезок разделён на \(n\) равных частей, то каждая маленькая часть имеет длину \(\frac{1}{n}\). Например, чтобы отметить \(\frac{3}{4}\), отрезок от \(0\) до \(1\) делят на четыре равные части и берут третью отметку после нуля.
Число \(a\) расположено правее числа \(b\) тогда и только тогда, когда \(a>b\). Число \(a\) расположено левее числа \(b\) тогда и только тогда, когда \(a<b\). Равные числа изображаются одной и той же точкой.
Сравнение чисел на прямой
Чтобы сравнить два числа, достаточно посмотреть, какая из соответствующих точек находится правее. Это правило работает для целых, дробных и десятичных чисел, а также для чисел разных знаков.
- Любое положительное число больше нуля: \(a>0\), если \(a\) положительно.
- Любое отрицательное число меньше нуля: \(a<0\), если \(a\) отрицательно.
- Любое положительное число больше любого отрицательного.
- Из двух отрицательных чисел больше то, которое расположено правее, то есть ближе к нулю.
- Если точки совпадают, числа равны.
Например, \(-5<-2\), потому что точка \(-5\) находится левее точки \(-2\). Несмотря на то что число \(5\) больше числа \(2\) по модулю, отрицательное число \(-5\) меньше \(-2\).
Какое утверждение верно для чисел \(-3\) и \(-1\)?
Расстояние и противоположные точки
Расстояние от точки с координатой \(a\) до начала координат равно [[absolute-value:модулю числа]] \(a\). Поэтому точки с координатами \(a\) и \(-a\) находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны от него.
Числа \(a\) и \(-a\) называют [[opposite-numbers:противоположными числами]]. Например, \(7\) и \(-7\), \(\frac{2}{3}\) и \(-\frac{2}{3}\) — противоположные числа. Их точки симметричны относительно начала координат.
Если \(a>0\), точка \(a\) находится справа от нуля. Если \(a<0\), точка \(a\) находится слева от нуля. Для противоположных чисел расстояния до нуля равны: \(|a|=|-a|\).
Разобранный пример
На числовой прямой отмечены точки \(A(-2{,}5)\) и \(B(1{,}5)\). Определите, какая точка расположена правее, и найдите расстояние между ними в единицах длины.
Точка \(B\) расположена правее точки \(A\), а расстояние между точками равно \(4\) единицам.
Алгоритм решения заданий
- Определите начало координат \(0\) и направление вправо.
- Проверьте масштаб: сколько единиц приходится на один отрезок между соседними отметками.
- Для каждой точки прочитайте или вычислите её координату.
- Сравните координаты: большее число соответствует точке правее.
- Если требуется расстояние, вычтите координаты и возьмите модуль разности.
Не путайте направление чтения с величиной числа: правее всегда больше, даже если числа отрицательные. Ошибка \(-7>-3\) возникает из-за сравнения модулей без учёта знака. Также нельзя забывать о масштабе: если между \(0\) и \(1\) четыре равные части, одна маленькая часть равна \(\frac14\), а не \(1\).
Представьте движение от нуля влево: чем дальше точка ушла влево, тем меньше число. Поэтому \(-10<-4\), а число \(-4\) ближе к нулю и больше.
Быстрая проверка
Проверьте понимание
Главное
- Числовая прямая задаётся началом координат, положительным направлением и единичным отрезком.
- Положительные числа находятся справа от нуля, отрицательные — слева.
- Чем правее расположена точка, тем больше соответствующее число.
- Расстояние от точки \(a\) до нуля равно \(|a|\), а расстояние между точками \(a\) и \(b\) равно \(|a-b|\).
- Для отрицательных чисел больше то, которое ближе к нулю.