ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задания № 7, 9, 10 · ЕГЭ

Квадратное неравенство

Как решать неравенства с квадратным трёхчленом методом интервалов и по графику параболы
6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Квадратное неравенство — это неравенство, которое после упрощения имеет вид \(ax^2+bx+c>0\) или \(ax^2+bx+c<0\), где \(a\ne0\). На экзамене его обычно решают методом интервалов: находят нули квадратного трёхчлена, определяют знаки на промежутках и выбирают подходящие значения \(x\).

Что называют квадратным неравенством

D
Определение

Квадратным неравенством называют неравенство вида \(ax^2+bx+c>0\), \(ax^2+bx+c<0\), \(ax^2+bx+c\ge0\) или \(ax^2+bx+c\le0\), где \(a\), \(b\), \(c\) — числа, а \(a\ne0\). Выражение \(ax^2+bx+c\) называется квадратным трёхчленом.

Сначала неравенство приводят к стандартному виду: все слагаемые переносят в левую часть, подобные слагаемые упрощают. Затем решают уравнение \(ax^2+bx+c=0\). Для этого используют дискриминант квадратного уравнения.

\[D=b^2-4ac\]
\[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\]

Корни уравнения делят числовую прямую на промежутки. Работа с такими промежутками требует знания числовых промежутков. Если \(D<0\), действительных корней нет: знак трёхчлена во всех точках одинаков и совпадает со знаком коэффициента \(a\).

Метод интервалов

Метод интервалов основан на том, что знак квадратного трёхчлена может измениться только при переходе через его корень. Если корни разные, то на каждом из трёх промежутков знак постоянен.

T
Правило знаков

Если \(x_1<x_2\) — различные корни квадратного трёхчлена \(ax^2+bx+c\), то знаки на промежутках располагаются так: при \(a>0\) — \(+\), \(-\), \(+\); при \(a<0\) — \(-\), \(+\), \(-\). В точках корней выражение равно нулю.

  1. Перенесите все слагаемые в одну часть и приведите неравенство к виду \(ax^2+bx+c\;\square\;0\).
  2. Решите уравнение \(ax^2+bx+c=0\).
  3. Отметьте корни на числовой прямой и определите знаки на промежутках.
  4. Выберите промежутки, где знак совпадает со знаком неравенства.
  5. Решите, включать ли корни: при \(\ge\) и \(\le\) корни включаются, при \(>\) и \(<\) — нет.

Для двух различных корней удобно начинать таблицу знаков со знака коэффициента \(a\) на крайнем правом промежутке и затем менять знак при переходе через каждый простой корень. Это и есть основная идея метода интервалов.

−4−3−2−11234−4−224681012xy0y = x²−4
График \(y=x^2-4\): нули \(x=-2\) и \(x=2\), знак положителен вне корней и отрицателен между ними.
Проверь себя

Какой знак имеет \(x^2-9\) на промежутке \((-3;3)\)?

Разобранный пример

№
Решить неравенство

Решим \(2x^2-5x-3\le0\).

1
Находим корни соответствующего квадратного уравнения.
\(\displaystyle 2x^2-5x-3=0\)
2
Вычисляем дискриминант.
\(\displaystyle D=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-3)=25+24=49\)
3
Находим корни.
\(\displaystyle x_1=\frac{5-7}{4}=-\frac12,\qquad x_2=\frac{5+7}{4}=3\)
4
Коэффициент при \(x^2\) положительный, поэтому знак трёхчлена положителен вне корней и отрицателен между корнями.
\(\displaystyle +\quad\left(-\frac12\right)\quad-\quad(3)\quad+\)
5
Нужно выбрать значения, при которых выражение не превосходит нуля. Так как знак \(\le\), корни включаются.
\(\displaystyle x\in\left[-\frac12;3\right]\)
\[\boxed{x\in\left[-\frac12;3\right]}\]

Проверка подстановкой помогает обнаружить ошибку: при \(x=0\) получаем \(-3\le0\), поэтому число \(0\) действительно должно входить в ответ.

Решение по графику параболы

Квадратичная функция \(y=ax^2+bx+c\) изображается параболой. Решить неравенство \(ax^2+bx+c>0\) — значит найти значения \(x\), при которых график расположен выше оси \(Ox\). Для неравенства \(ax^2+bx+c<0\) выбирают участки ниже оси \(Ox\).

T
Связь с параболой

Если \(a>0\), ветви параболы направлены вверх: функция положительна вне промежутка между корнями и отрицательна между корнями. Если \(a<0\), ветви направлены вниз: знаки меняются на противоположные.

  • Знак \(>\): берём части графика выше оси \(Ox\), точки пересечения с осью не включаем.
  • Знак \(\ge\): берём части выше оси и точки пересечения включаем.
  • Знак \(<\): берём части графика ниже оси, точки пересечения не включаем.
  • Знак \(\le\): берём части ниже оси и точки пересечения включаем.

Графический способ особенно нагляден, но корни всё равно нужно находить точно. Подробнее о построении и использовании параболы рассказано на странице график квадратичной функции и неравенства.

Особые случаи и двойные неравенства

Если \(D=0\), квадратный трёхчлен имеет один корень \(x_0\). При \(a>0\) выражение неотрицательно при всех \(x\) и обращается в ноль только при \(x=x_0\); строго положительно — при \(x\ne x_0\). При \(a<0\) аналогично меняются слова «неотрицательно» и «неположительно».

Если \(D<0\), корней нет. При \(a>0\) трёхчлен всегда положителен, а при \(a<0\) — всегда отрицателен. Например, \(x^2+1>0\) при любом действительном \(x\).

Двойное неравенство решают как систему двух неравенств. Например, \(1\le x^2-2x\le3\) означает одновременно \(x^2-2x\ge1\) и \(x^2-2x\le3\). Удобно решать обе части отдельно, а затем находить пересечение полученных множеств.

Приём для двойного неравенства

Запишите двойное неравенство двумя строками: левую часть сравните с выражением, а выражение — с правой частью. После решения обязательно найдите пересечение, а не объединение ответов.

Частые ошибки

!
На что обратить внимание

1. При умножении или делении неравенства на отрицательное число знак меняется на противоположный. 2. Не путайте знак коэффициента \(a\) со знаком свободного члена. 3. При \(\le\) и \(\ge\) корни включаются, при \(<\) и \(>\) — нет. 4. В двойном неравенстве нужен общий участок решений, то есть пересечение. 5. Если корни записаны в неправильном порядке, промежутки и ответ будут перепутаны.

Запомнить

Для параболы, направленной вверх, знак «плюс» находится снаружи корней, а знак «минус» — внутри. Для параболы, направленной вниз, наоборот.

Самопроверка

Q
Быстрый тест по теме

Проверь решение

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · метод интервалов
Решите \(x^2-5x+6>0\).
Главное за минуту

Главное

  • Приведите неравенство к виду \(ax^2+bx+c\;\square\;0\) и найдите корни квадратного уравнения.
  • При двух корнях знак трёхчлена меняется на каждом корне; при \(a>0\) плюсы снаружи, при \(a<0\) — внутри.
  • По графику параболы знак «плюс» соответствует участкам выше оси \(Ox\), а знак «минус» — участкам ниже.
  • Корни включают только при нестрогих знаках \(\le\) и \(\ge\).
  • Двойное неравенство решают как систему, затем находят пересечение решений.