РУҚА
Тапсырмалар № 4, 7, 9 · ЕГЭ

Тапсырмалар на дуги и вписанные углы

Как находить градусные меры дуг, вписанные углы и хорды по свойствам окружности
6 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Задачи на окружность и вписанные фигуры удобно решать по одному алгоритму: определить, на какую дугу опирается угол, связать угол с дугой, а затем использовать свойства хорд, треугольников и четырёхугольников. Перед чтением полезно повторить вписанный угол и хорду и дугу окружности.

Основные понятия и главное свойство

Пусть \(A\), \(B\) и \(C\) — точки окружности. Угол \(\angle ACB\) называется вписанным, если его вершина лежит на окружности, а стороны проходят через две другие точки окружности. Угол опирается на дугу \(AB\), которая не содержит вершину \(C\). Хорда \(AB\) — отрезок, соединяющий две точки окружности.

ABC∠C
Вписанный угол \(\angle ACB\) опирается на дугу \(AB\), не содержащую точку \(C\).
D
Вписанный угол

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Если угол \(\angle ACB\) опирается на дугу \(AB\), то учитывается именно дуга \(AB\), не содержащая вершину угла.

\[\angle ACB=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}\]
T
Следствия теоремы о вписанном угле

1) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. 2) Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. 3) Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, вдвое больше вписанного.

\[\overset{\frown}{AB}=2\angle ACB;\qquad \angle AOB=2\angle ACB\]

Если известен угол, сначала умножьте его на \(2\) и получите дугу. Если известна дуга, разделите её меру на \(2\). Для полуокружности дуга равна \(180^\circ\), поэтому любой вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен \(90^\circ\).

Алгоритм нахождения дуги и угла

  1. Найдите вершину вписанного угла и назовите две точки, через которые проходят его стороны.
  2. Определите дугу между этими двумя точками. Убедитесь, что она не содержит вершину угла.
  3. Примените связь \(\text{дуга}=2\cdot\text{вписанный угол}\) немесе \(\text{вписанный угол}=\frac{1}{2}\cdot\text{дуга}\).
  4. Если требуется другой угол, сравните дуги, на которые он опирается, или используйте свойства треугольника и четырёхугольника.
Как не выбрать не ту дугу

Если дуга обозначена двумя буквами, например \(\overset{\frown}{AB}\), выбирайте её по рисунку. Для вписанного угла берётся дуга между концами его сторон, противоположная вершине. Если нужно указать большую дугу, используют три буквы, например \(\overset{\frown}{ACB}\).

\[\overset{\frown}{AB}_{\text{малая}}+\overset{\frown}{AB}_{\text{большая}}=360^\circ\]

Углы, опирающиеся на одну хорду с одной стороны от хорды, равны. Если вершины находятся по разные стороны хорды, соответствующие углы в сумме дают \(180^\circ\).

Проверьте себя

Вписанный угол опирается на дугу \(AB\) величиной \(124^\circ\). Чему равен угол?

Окружность и вписанный треугольник

Если все вершины треугольника лежат на окружности, треугольник называют вписанным. Его стороны являются хордами. Для решения обычно достаточно найти один или несколько углов через дуги, а затем использовать сумму углов треугольника.

T
Вписанный треугольник с диаметром

Если одна сторона вписанного треугольника является диаметром окружности, то треугольник прямоугольный. Это частный случай теоремы о вписанном угле.

\[\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ\]

В равнобедренном треугольнике равны углы при основании. Если равны хорды, то равны и стягиваемые ими дуги, а значит, равны вписанные углы, опирающиеся на эти дуги. Связь между хордой и дугой часто позволяет быстро обнаружить равенство углов.

Вписанный четырёхугольник

Четырёхугольник является вписанным, если все его вершины лежат на одной окружности. В нём противоположные углы дополняют друг друга до развёрнутого угла.

T
Свойство вписанного четырёхугольника

Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна \(180^\circ\).

\[\angle A+\angle C=180^\circ;\qquad \angle B+\angle D=180^\circ\]

Это свойство полезно, когда один угол дан непосредственно, а второй не связан с ним очевидной дугой. Также можно разбить четырёхугольник диагональю на два треугольника и применять теорему о вписанном угле.

Разобранный пример

№
Найдём угол по дугам

В окружность вписан четырёхугольник \(ABCD\). Дуга \(AB\) равна \(86^\circ\), а дуга \(BC\) равна \(124^\circ\). Найдите угол \(\angle ADC\).

1
Угол \(\angle ADC\) — вписанный. Его стороны проходят через точки \(A\) и \(C\), поэтому он опирается на дугу \(AC\), не содержащую вершину \(D\). Эта дуга состоит из дуг \(AB\) и \(BC\).
\(\displaystyle \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}=86^\circ+124^\circ=210^\circ\)
2
По теореме о вписанном угле угол равен половине дуги, на которую он опирается.
\(\displaystyle \angle ADC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}=\frac{210^\circ}{2}=105^\circ\)
3
Проверим результат: угол тупой, потому что дуга \(AC\), не содержащая вершину \(D\), больше полуокружности.
\(\displaystyle \boxed{\angle ADC=105^\circ}\)
!
Частые ошибки

Не путайте вписанный и центральный угол: центральный равен дуге, а вписанный — половине дуги. Не берите дугу, содержащую вершину угла. Не забывайте, что сумма всех дуг окружности равна \(360^\circ\), а дуга диаметра — \(180^\circ\). В вписанном четырёхугольнике складываются противоположные углы, а не соседние.

Хорды, диаметры и дополнительные приёмы

Диаметр — хорда, проходящая через центр. Он делит окружность на две равные дуги по \(180^\circ\). Перпендикуляр из центра к хорде делит хорду и соответствующую дугу пополам. Эти факты особенно полезны в задачах, где нужно найти длину хорды или расстояние до неё; такие задачи разобраны на странице расстояние от центра окружности до хорды.

Если в условии встречается радиус описанной окружности треугольника, сначала найдите нужный угол по дуге, а затем используйте связь стороны и радиуса. Сама тема радиуса подробнее изложена на странице радиус описанной окружности. Градусные меры дуг удобно повторить по странице градусная мера дуги.

  • Угол с вершиной на окружности — вписанный.
  • Угол с вершиной в центре — центральный.
  • Вписанный угол равен половине дуги.
  • Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают \(180^\circ\).
  • Угол, опирающийся на диаметр, равен \(90^\circ\).
Q
Жылдам тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · связь угла и дуги
Дуга, на которую опирается вписанный угол \(37^\circ\), равна:
Главное за минуту

Главное

  • Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
  • Для поиска дуги умножайте вписанный угол на \(2\); для поиска угла делите дугу на \(2\).
  • Всегда выбирайте дугу между концами сторон угла, не содержащую его вершину.
  • Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен \(90^\circ\).
  • Вписанный четырёхугольник имеет сумму противоположных углов \(180^\circ\); равные хорды стягивают равные дуги.