Задание № 8 · ОГЭ

Сокращение алгебраических дробей

Как сократить алгебраическую дробь после разложения на множители

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Сокращение алгебраической дроби — это деление её числителя и знаменателя на один и тот же ненулевой множитель. Сначала дробь нужно разложить на множители, а затем убрать одинаковые множители.

Сокращение алгебраической дроби

Сокращение алгебраической дроби — преобразование алгебраической дроби, при котором числитель и знаменатель делят на общий множитель, не равный нулю. Значения переменной, при которых исходный знаменатель равен нулю, недопустимы и после сокращения сохраняются как ограничения.

Правило сокращения

Чтобы сократить дробь, действуют по шагам: разлагают числитель и знаменатель на множители, находят одинаковые множители, сокращают их и обязательно указывают ограничения на переменную. Для разложения часто используют вынесение общего множителя за скобки, формулы сокращённого умножения и другие способы.

\[\frac{A\cdot C}{B\cdot C}=\frac{A}{B},\qquad C\ne 0,\quad B\ne 0\]

№

Пример

Сократим дробь \(\frac{x^2-9}{x^2+3x}\). Разложим выражения: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\), а \(x^2+3x=x(x+3)\). Получаем \(\frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)}=\frac{x-3}{x}\). Ограничения: \(x\ne 0\) и \(x\ne -3\), потому что именно при этих значениях исходный знаменатель равен нулю.

Не сокращают слагаемые

Нельзя сокращать отдельные части суммы: \(\frac{x+3}{x}\) не превращается в \(\frac{3}{1}\). Сокращают только одинаковые множители, стоящие в произведении числителя и знаменателя. Поэтому сначала применяют разложение на множители.

Проверь себя

Как правильно сократить дробь \(\frac{x^2-4}{x^2+2x}\)?

Главное за минуту

Главное

Сокращают только общие множители числителя и знаменателя.
Перед сокращением разлагают многочлены на множители.
Ограничения на переменную определяют по исходному знаменателю и сохраняют после сокращения.