Сложение и вычитание алгебраических дробей
Сложение и вычитание алгебраических дробей выполняют по тем же правилам, что и действия с обычными дробями: при одинаковых знаменателях складывают или вычитают числители, а при разных сначала приводят дроби к общему знаменателю. Главное условие — учитывать область допустимых значений переменных и правильно раскрывать скобки.
Основные понятия и ограничения
Алгебраическая дробь — это выражение вида \(\frac{A}{B}\), где \(A\) и \(B\) — многочлены или одночлены, а \(B\ne0\). Значения переменных, при которых знаменатель обращается в ноль, не входят в область допустимых значений (ОДЗ). ОДЗ записывают до преобразований и сохраняют до конца решения.
Алгебраической дробью называют дробь \(\frac{A}{B}\), в которой числитель и знаменатель являются алгебраическими выражениями, причём знаменатель не равен нулю: \(B\ne0\).
Если \(B\ne0\), то дроби с одинаковыми знаменателями складывают или вычитают по правилу: числители складывают или вычитают, знаменатель оставляют без изменения.
После действия полученную дробь нужно упростить: раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и, если возможно, выполнить сокращение алгебраической дроби. Сокращать можно только множители, а не отдельные слагаемые суммы или разности.
Одинаковые знаменатели
Если знаменатели полностью совпадают, общий знаменатель уже найден. При сложении числители объединяют знаком «плюс», при вычитании — знаком «минус». Если перед второй дробью стоит минус, при раскрытии скобок меняются знаки всех слагаемых её числителя.
При вычитании особенно важно заключать числитель второй дроби в скобки: \(\frac{A}{B}-\frac{C}{B}=\frac{A-(C)}{B}\). Без скобок легко потерять знак перед отдельным слагаемым.
Упростите выражение \(\frac{2x+7}{x-3}-\frac{x-1}{x-3}\). Какой ответ верен?
Разные знаменатели: общий алгоритм
Если знаменатели различны, дроби сначала приводят к общему знаменателю. Для этого удобно использовать приведение алгебраических дробей к общему знаменателю. Обычно общий знаменатель выбирают как произведение знаменателей, но после разложения на множители можно найти наименьший общий знаменатель и избежать лишних вычислений.
Чтобы сложить или вычесть алгебраические дроби: 1) найти ОДЗ; 2) разложить знаменатели на множители; 3) выбрать общий знаменатель; 4) определить дополнительные множители; 5) умножить ими числители; 6) выполнить действие в общем числителе; 7) разложить на множители и сократить, если это возможно.
Формула с произведением \(BD\) всегда работает, но иногда приводит к громоздкому знаменателю. Например, для дробей со знаменателями \(x^2-1\) и \(x-1\) сначала используют разложение \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), после чего общий знаменатель можно взять равным \(x^2-1\).
Разобранный пример экзаменационного уровня
Упростим выражение \(\frac{2}{x^2-4}-\frac{1}{x-2}\).
В подобных примерах нельзя сокращать \(x\) с частью знаменателя \(x^2-4\): выражение \(\frac{x}{x^2-4}\) не равно \(\frac{1}{x-4}\). Сначала знаменатель раскладывают на множители, затем ищут одинаковые множители в числителе и знаменателе.
Когда требуется разложение на множители
Общий знаменатель часто становится очевидным только после разложения выражений. Используйте вынесение общего множителя за скобки, формулы сокращённого умножения, а иногда и разложение на множители группировкой. Например, \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), поэтому дроби со знаменателями \(a^2-b^2\) и \(a-b\) легко привести к общему знаменателю.
- Разложите каждый знаменатель на множители.
- Запишите все различные множители в общий знаменатель в нужных степенях.
- Для каждой дроби определите, каких множителей не хватает.
- Домножьте числитель и знаменатель на недостающий множитель.
- Выполните сложение или вычитание и упростите результат.
1. Складывают знаменатели: \(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\ne\frac{a+c}{b+d}\). 2. При вычитании забывают поменять знаки внутри скобок: \(-(x-3)=-x+3\). 3. Сокращают слагаемые, например пытаются сократить \(x\) в \(\frac{x+2}{x}\). 4. Не записывают ОДЗ и включают в ответ значения, при которых исходная дробь не определена. 5. После приведения к общему знаменателю не домножают числитель на тот же множитель, что и знаменатель.
Подставьте в исходное выражение и в ответ любое допустимое числовое значение переменной, например \(x=3\), если оно не запрещено ОДЗ. Совпадение чисел помогает обнаружить арифметическую ошибку, но не заменяет полного преобразования.
Связь с другими действиями
Сложение и вычитание требуют общего знаменателя, а умножение и деление алгебраических дробей выполняют по другим правилам: при умножении перемножают числители и знаменатели, при делении умножают на дробь, обратную делителю. Если выражение содержит дробь в дроби, сначала изучите сложные алгебраические дроби.
Быстрая проверка
Главное
- При одинаковых знаменателях складывают или вычитают числители, а знаменатель сохраняют.
- При разных знаменателях сначала находят общий знаменатель и домножают числители на недостающие множители.
- Перед преобразованиями записывают ОДЗ: знаменатели исходных дробей не равны нулю.
- При вычитании заключают второй числитель в скобки и внимательно раскрывают скобки.
- Сокращают только общие множители после разложения на множители; слагаемые сокращать нельзя.