Задание № 10 · ЕГЭ

Формула Эйлера

Связь числа вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Формула Эйлера связывает количество вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника. Она позволяет найти неизвестное число элементов, если два других числа известны.

Формула ЭйлераНазвана в честь Леонарда Эйлера.

Для любого выпуклого многогранника число вершин минус число рёбер плюс число граней равно двум: \(V-E+F=2\). Здесь \(V\) — число вершин, \(E\) — число рёбер, а \(F\) — число граней. Формула описывает связь между элементами многогранника, а не размеры или форму его частей.

Формула

\[V-E+F=2\]

Из равенства можно выразить любой неизвестный элемент: \(V=E-F+2\), \(E=V+F-2\) или \(F=E-V+2\). Перед подстановкой важно правильно посчитать только внешние вершины, рёбра и грани данного многогранника.

№

Пример: куб

У куба \(V=8\) вершин, \(E=12\) рёбер и \(F=6\) граней. Проверим формулу: \(8-12+6=2\). Равенство выполняется. Если у выпуклого многогранника 10 вершин и 15 рёбер, то число граней равно \(F=15-10+2=7\).

Не путайте область применимости

Формула Эйлера относится к выпуклым многогранникам, например к призме или параллелепипеду. Нельзя механически применять её к произвольным невыпуклым телам или считать внутренние линии рёбрами: учитываются только элементы поверхности многогранника.

Проверьте себя

У выпуклого многогранника 6 вершин и 9 граней. Сколько у него рёбер?

Главное за минуту

Главное

Для выпуклого многогранника выполняется \(V-E+F=2\).
\(V\), \(E\) и \(F\) — соответственно числа вершин, рёбер и граней.
Формула помогает найти неизвестное число элементов, но требует правильно определить границы многогранника.