Задания № 10, 11 · ЕГЭ

Параллелепипед

Определение, свойства граней, рёбер и диагоналей
2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Параллелепипед — это многогранник, у которого шесть граней, и каждая грань является параллелограммом. Он имеет 8 вершин, 12 рёбер и 4 пространственные диагонали.

ПараллелепипедНазвание происходит от греческих слов со значением «параллельные плоскости».
Параллелепипед — это призма, основанием которой служит параллелограмм. Поэтому две противоположные грани параллельны и равны, а боковые грани также являются параллелограммами.

Основные свойства

  • Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
  • Все противоположные рёбра попарно параллельны и равны.
  • Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
  • Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелепипеда.
  • У параллелепипеда 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.

Параллелепипед является частным случаем призмы. Если все его грани — прямоугольники, это прямоугольный параллелепипед. Куб — частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все рёбра равны.

Диагональ и основные формулы

Пространственная диагональ соединяет две противоположные вершины, не лежащие на одной грани. Для прямоугольного параллелепипеда с измерениями \(a\), \(b\) и \(c\) длина диагонали находится по теореме Пифагора в пространстве:

\[d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\]

В общем параллелепипеде диагонали могут иметь разные длины. Если три ребра, выходящие из одной вершины, имеют длины \(a\), \(b\), \(c\), а углы между ними известны, длину диагонали находят с использованием скалярного произведения. В школьных задачах чаще рассматривают прямоугольный параллелепипед.

№
Пример

Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны \(3\) см, \(4\) см и \(12\) см. Тогда диагональ равна \(d=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=\sqrt{169}=13\) см.

!
Не путайте

Диагональ грани лежит на поверхности параллелепипеда и соединяет противоположные вершины одной грани. Пространственная диагональ проходит внутри тела и соединяет противоположные вершины всего параллелепипеда. У прямоугольного параллелепипеда диагонали граней имеют длины \(\sqrt{a^2+b^2}\), \(\sqrt{a^2+c^2}\) или \(\sqrt{b^2+c^2}\).

Проверьте себя

Сколько пространственных диагоналей имеет параллелепипед?

Главное за минуту

Главное

  • Параллелепипед — призма с основанием-параллелограммом; у него 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
  • Противоположные грани и рёбра равны и параллельны, а диагонали пересекаются и делятся пополам.
  • Для прямоугольного параллелепипеда \(d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\); пространственная диагональ не совпадает с диагональю грани.