Задания № 12, 13, 18 · ЕГЭ

Скалярное произведение векторов

Определение, формулы, угол между векторами и условие перпендикулярности

3 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Скалярное произведение векторов — это число, которое связывает длины двух векторов и угол между ними. С его помощью находят угол между векторами и проверяют, перпендикулярны ли они.

Для ненулевых векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) скалярным произведением называется число \(\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\alpha\), где \(\alpha\) — угол между векторами \(\vec a\) и \(\vec b\). Результатом является число, а не вектор.

Формулы

Если известны длины векторов и угол между ними, используют основную формулу:

\[\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\alpha\]

На координатной плоскости, если \(\vec a=(a_x,a_y)\) и \(\vec b=(b_x,b_y)\), скалярное произведение вычисляют так:

\[\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y\]

Из основной формулы можно найти косинус угла:

\[\cos\alpha=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}\]

Перпендикулярность

Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: \(\vec a\perp\vec b\Longleftrightarrow\vec a\cdot\vec b=0\). Это правило применяют и для направляющих векторов прямых.

№

Пример

Пусть \(\vec a=(2,3)\) и \(\vec b=(3,-2)\). Тогда \(\vec a\cdot\vec b=2\cdot3+3\cdot(-2)=6-6=0\). Следовательно, векторы перпендикулярны, а угол между ними равен \(90^\circ\).

Не путайте

Скалярное произведение — число, а не вектор. Не следует путать его с действиями с векторами или с углом между прямыми: для прямых сначала выбирают их направляющие векторы, а затем используют формулу угла между векторами.

Проверьте себя

Чему равно скалярное произведение перпендикулярных ненулевых векторов?

Главное за минуту

Главное

\(\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\alpha\).
В координатах: \(\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y\).
Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.