Симметрия на координатной плоскости
Симметрия на координатной плоскости позволяет находить координаты новой точки без построения и измерений. Достаточно понять, относительно какой оси, точки или прямой выполняется отражение, и правильно изменить знаки координат либо поменять координаты местами.
Координатная плоскость и симметрия
На координатной плоскости положение точки \(A\) задаётся парой координат \(A(x,y)\). Первая координата \(x\) показывает положение по горизонтали, а вторая \(y\) — по вертикали. Симметричные точки находятся на одинаковом расстоянии от оси или центра симметрии, но по разные стороны от них.
Две точки называются симметричными относительно прямой, если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точки. Если точка лежит на оси симметрии, она переходит сама в себя.
При отражении относительно горизонтальной оси меняется вертикальная координата \(y\), а при отражении относительно вертикальной оси меняется горизонтальная координата \(x\). При симметрии относительно начала координат меняются знаки обеих координат.
Симметрия относительно осей координат
Ось \(Ox\) состоит из точек, у которых \(y=0\). Поэтому при отражении относительно этой оси расстояние до неё сохраняется, а знак вертикальной координаты меняется. Горизонтальная координата остаётся прежней.
Ось \(Oy\) состоит из точек, у которых \(x=0\). При отражении относительно неё знак горизонтальной координаты меняется, а вертикальная координата сохраняется.
| Относительно чего отражаем | Координаты образа |
|---|---|
| Ось \(Ox\) | \((x,-y)\) |
| Ось \(Oy\) | \((-x,y)\) |
| Начало координат \(O\) | \((-x,-y)\) |
Точка \(B(-3,5)\) отражена относительно оси \(Oy\). Каковы координаты образа?
\(Ox\): меняем знак \(y\); \(Oy\): меняем знак \(x\). Удобно представить ось как зеркало: координата, перпендикулярная зеркалу, меняет знак, а координата вдоль зеркала сохраняется.
Симметрия относительно начала координат
Начало координат \(O(0,0)\) является центром симметрии. При повороте точки на \(180^\circ\) вокруг начала координат точка \(A(x,y)\) переходит в точку с противоположными обеими координатами.
Например, точке \(C(4,-7)\) соответствует точка \(C_3(-4,7)\). Отрезок \(CC_3\) имеет середину \(O\): это можно проверить по формуле координат середины отрезка.
Если две точки симметричны относительно начала координат, координаты их середины равны \((0,0)\). Для симметрии относительно оси середина отрезка лежит на этой оси, а сам отрезок перпендикулярен оси.
Симметрия относительно прямых \(y=x\) и \(y=-x\)
Для прямых, проходящих через начало координат и расположенных под углом \(45^\circ\) к осям, правило удобно запомнить через перестановку координат.
При отражении относительно прямой \(y=x\) координаты меняются местами. Например, \((2,5)\) переходит в \((5,2)\). Это естественно: прямая \(y=x\) связывает координаты равенством, поэтому горизонтальное и вертикальное направления становятся взаимозаменяемыми.
При отражении относительно прямой \(y=-x\) координаты также меняются местами, но обе получают противоположные знаки. Например, точка \((-1,4)\) переходит в \((-4,1)\).
| Прямая симметрии | Координаты образа |
|---|---|
| \(y=x\) | \((y,x)\) |
| \(y=-x\) | \((-y,-x)\) |
Для других прямых используют перпендикуляр, середину отрезка или уравнение прямой. В более сложных задачах полезны нормальное уравнение прямой и свойства параллельности векторов, но в базовых экзаменационных заданиях чаще достаточно распознать одну из пяти стандартных симметрий.
Разобранный пример
Точка \(A(-3,5)\) сначала отражается относительно оси \(Ox\), а затем полученная точка — относительно прямой \(y=x\). Найдём конечные координаты.
Порядок действий важен: каждое следующее отражение выполняется уже для результата предыдущего. Нельзя сразу менять координаты исходной точки по формуле, предназначенной для одной операции.
1. При симметрии относительно \(Ox\) меняют знак \(x\) вместо \(y\). 2. При симметрии относительно \(Oy\) меняют знак обеих координат. 3. Для прямой \(y=x\) забывают поменять координаты местами. 4. Для прямой \(y=-x\) меняют только знаки, но не переставляют координаты. 5. В цепочке отражений применяют все правила к исходной точке, а не последовательно.
Как решать задания на симметрию
- Запишите координаты исходной точки в виде \((x,y)\).
- Определите ось, начало координат или прямую, относительно которой выполняется отражение.
- Выберите соответствующее правило и измените только нужные координаты.
- Если отражений несколько, применяйте их последовательно.
- Проверьте результат: для оси симметрии середина отрезка должна лежать на этой оси.
После отражения относительно \(Ox\) точки должны иметь одинаковые \(x\) и противоположные \(y\). После отражения относительно \(Oy\) — противоположные \(x\) и одинаковые \(y\). При отражении относительно \(y=x\) координаты должны просто поменяться местами.
Такие проверки особенно полезны в заданиях, где нужно выбрать точку на рисунке или восстановить координаты вершины фигуры. Если симметрия применяется к многоугольнику, каждую вершину отражают отдельно, а затем соединяют полученные точки в том же порядке. Площадь при отражении сохраняется; координаты можно использовать и в задачах на площадь многоугольника координатным методом.
Quick-test
Проверьте понимание
Главное
- Относительно \(Ox\): \((x,y)\to(x,-y)\); относительно \(Oy\): \((x,y)\to(-x,y)\).
- Относительно начала координат: \((x,y)\to(-x,-y)\).
- Относительно \(y=x\): \((x,y)\to(y,x)\); относительно \(y=-x\): \((x,y)\to(-y,-x)\).
- При нескольких отражениях действия выполняются последовательно.
- Проверяйте ответ по середине отрезка и по сохранению нужной координаты.