Середина и деление отрезка на координатной плоскости
На координатной плоскости середину отрезка и любую точку, делящую его в заданном отношении, можно найти по формулам. Эти правила помогают решать задания на координаты, длины, симметрию и построение точек без измерений по клеткам.
Середина отрезка на координатной плоскости
Рассмотрим отрезок \(AB\), где \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2;y_2)\). Сначала вспомним устройство координатной плоскости: первая координата точки показывает положение по горизонтали, а вторая — по вертикали. Поэтому при переходе от \(A\) к \(B\) отдельно меняются абсциссы и ординаты.
Середина отрезка — это точка, которая принадлежит отрезку и находится от его концов на одинаковом расстоянии. Если \(M\) — середина \(AB\), то \(AM=MB\).
Координаты середины равны полусуммам соответствующих координат концов: абсциссы складываются и делятся на \(2\), ординаты складываются и делятся на \(2\).
Формула работает для любых координат: положительных, отрицательных и нулевых. Важно не смешивать координаты: к абсциссам прибавляют абсциссы, к ординатам — ординаты.
Почему формула верна
Если двигаться от точки \(A\) к точке \(B\), то изменение абсциссы равно \(x_2-x_1\), а изменение ординаты — \(y_2-y_1\). До середины нужно пройти ровно половину каждого изменения. Поэтому к координатам точки \(A\) прибавляются половины этих разностей.
На координатной плоскости найдите среднее значение абсцисс концов и среднее значение ординат концов. Отметьте точку с полученными координатами. Геометрически можно провести серединный перпендикуляр к отрезку, но в координатных задачах формула обычно быстрее.
Например, для \(A(-4;3)\) и \(B(2;-1)\) получаем \(x_M=\frac{-4+2}{2}=-1\), \(y_M=\frac{3+(-1)}{2}=1\). Значит, \(M(-1;1)\).
Точка, делящая отрезок в заданном отношении
Середина делит отрезок в отношении \(1:1\). Более общий случай — точка \(C\), лежащая между \(A\) и \(B\) и делящая отрезок так, что \(AC:CB=m:n\). Числа \(m\) и \(n\) показывают, на сколько равных частей условно разделены соответствующие участки.
Точка \(C\) делит отрезок \(AB\) внутренним образом в отношении \(m:n\), если \(C\) находится между \(A\) и \(B\) и \(\frac{AC}{CB}=\frac{m}{n}\), где \(m>0\) и \(n>0\).
Если \(A(x_1;y_1)\), \(B(x_2;y_2)\), а \(C\) делит \(AB\) в отношении \(AC:CB=m:n\), то координаты \(C\) получают как взвешенное среднее координат концов. Координаты точки, которая ближе к \(A\), сильнее зависят от \(A\).
В этой записи коэффициент при координатах \(A\) равен \(n\), а коэффициент при координатах \(B\) равен \(m\). Это связано с тем, что если \(AC:CB=m:n\), то при движении от \(A\) доля пути равна \(\frac{m}{m+n}\).
В координатах формула (3) означает: к координатам \(A\) прибавляется доля \(\frac{m}{m+n}\) от перехода к \(B\). При \(m=n\) она превращается в формулу середины.
Точка \(C\) делит \(AB\) в отношении \(AC:CB=1:2\). Какая доля пути от \(A\) до \(B\) пройдена?
Разобранный пример
Даны точки \(A(-5;4)\) и \(B(7;-2)\). Найдём координаты точки \(C\), которая делит отрезок \(AB\) в отношении \(AC:CB=2:1\), а затем проверим результат.
Так как \(m=2\), \(n=1\), точка \(C\) находится на две трети пути от \(A\) к \(B\). Она должна быть ближе к \(B\), чем к \(A\).
Проверка показывает, что \(C(3;0)\) действительно лежит на отрезке. Кроме того, \(C\) ближе к \(B(7;-2)\): расстояние \(CB\) должно быть вдвое меньше \(AC\), поскольку \(AC:CB=2:1\). Для проверки можно использовать формулу расстояния между точками из страницы координаты середины отрезка и связанных задач на координаты.
Как решать задачи и строить точки
Перед вычислениями определите, что именно требуется: середина, внутренняя точка деления или восстановление неизвестного конца отрезка. Затем аккуратно выпишите координаты в одинаковом порядке.
- Обозначьте концы отрезка: \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2;y_2)\).
- Для середины используйте полусуммы координат.
- Для отношения \(m:n\) проверьте, что оно записано как \(AC:CB\), а не наоборот.
- Подставьте координаты отдельно для \(x\) и для \(y\).
- Проверьте знак, расположение точки и само отношение.
1) Складывают \(x_1\) с \(y_2\) вместо соответствующих координат. 2) Забывают разделить обе суммы на \(2\). 3) В формуле отношения меняют местами \(m\) и \(n\). 4) Теряют скобки при отрицательных числах: например, \(2\cdot(-3)=-6\). 5) Для внешнего деления применяют формулу внутреннего деления без проверки: точка может оказаться не между концами отрезка.
Середина должна лежать между концами по каждой координате: её \(x\) находится между \(x_1\) и \(x_2\), а \(y\) — между \(y_1\) и \(y_2\). Для внутренней точки деления это правило также выполняется.
Связь с другими задачами
Формулы середины часто встречаются в задачах на симметрию в координатах: при центральной симметрии центр симметрии является серединой отрезка, соединяющего исходную и симметричную точки. Они также используются при работе с пересечением окружности и хорды, когда нужно найти середину хорды, и при задачах на проекцию вектора на ось. Внутри общей темы координатной плоскости эта страница продолжает материал о координатах на плоскости, а формулы удобно повторить на страницах о координатах середины и о делении отрезка в отношении.
Итоговая проверка
Главное
- Середина отрезка \(AB\) имеет координаты \(M(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2})\).
- Если \(AC:CB=m:n\), то \(C(\frac{nx_1+mx_2}{m+n};\frac{ny_1+my_2}{m+n})\).
- В отношении \(m:n\) число \(m\) относится к участку \(AC\), поэтому доля пути от \(A\) равна \(\frac{m}{m+n}\).
- При вычислениях отдельно работайте с абсциссами и ординатами и внимательно следите за знаками.
- Для проверки убедитесь, что внутренняя точка лежит между концами отрезка и соответствует заданному отношению.