Задачи на площадь сектора
Площадь сектора находят по радиусу круга и величине центрального угла. В этой теме важно не только подставлять числа в формулу, но и правильно различать градусную и радианную меры угла, а также уметь находить неизвестный радиус или угол.
Что такое сектор
Сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности. Радиусы образуют центральный угол сектора. Перед решением задач полезно повторить понятие центрального угла и формулу площади круга из страницы площадь круга.
Если центральный угол равен \(\alpha\) градусов, то сектор составляет \(\frac{\alpha}{360^\circ}\) часть полного круга. При \(\alpha=360^\circ\) сектор совпадает со всем кругом, а при \(\alpha=180^\circ\) является полукругом.
Основная формула площади
Полный круг имеет площадь \(\pi r^2\). Поэтому площадь сектора пропорциональна величине его центрального угла: чем больше угол, тем большую долю круга занимает сектор.
Площадь сектора с радиусом \(r\) и центральным углом \(\alpha\) градусов равна \(\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2\). Угол подставляют именно в градусах, если в формуле стоит деление на \(360^\circ\).
Иногда угол задан в радианах. Полный угол равен \(2\pi\) радиан, поэтому используется другая запись той же зависимости.
Формула \(S=\frac{\alpha}{360^\circ}\pi r^2\) предназначена для градусов, а формула \(S=\frac12r^2\varphi\) — для радианной меры угла. Нельзя подставлять число градусов вместо радиан и наоборот.
Полезно помнить частные случаи: сектор с углом \(90^\circ\) занимает четверть круга, с углом \(180^\circ\) — половину, с углом \(270^\circ\) — три четверти.
| Угол сектора | Доля круга | Площадь сектора |
|---|---|---|
| \(90^\circ\) | \(\frac14\) | \(\frac14\pi r^2\) |
| \(180^\circ\) | \(\frac12\) | \(\frac12\pi r^2\) |
| \(270^\circ\) | \(\frac34\) | \(\frac34\pi r^2\) |
| \(360^\circ\) | \(1\) | \(\pi r^2\) |
Как находить неизвестные элементы
Из основной формулы можно выразить радиус, угол или площадь. При преобразованиях удобно сначала умножить обе части равенства на \(360^\circ\), а затем выполнить обычные алгебраические действия.
Площадь сектора не может быть больше \(\pi r^2\), поэтому при угле меньше \(360^\circ\) результат должен быть меньше площади круга. Если угол увеличился в два раза, а радиус остался прежним, площадь также увеличилась в два раза.
Во сколько раз площадь сектора с углом \(60^\circ\) меньше площади всего круга того же радиуса?
Разобранный пример
В секторе радиусом \(6\) см центральный угол равен \(120^\circ\). Найдём площадь сектора и выразим ответ через \(\pi\).
Площадь сектора равна \(12\pi\text{ см}^2\). Если требуется приближённый ответ, при \(\pi\approx3{,}14\) получаем примерно \(37{,}68\text{ см}^2\).
Рассмотрим обратную задачу. Пусть площадь сектора равна \(18\pi\) см², радиус равен \(9\) см. Тогда неизвестный угол находим так:
Ответ можно проверить: \(80^\circ\) составляет \(\frac{80}{360}=\frac29\) полного круга, а \(\frac29\cdot81\pi=18\pi\).
Связь с длиной дуги и сложные конфигурации
У сектора есть дуга — часть окружности между концами его радиусов. Её длину находят по той же доле полного оборота, используя знания о длине окружности и градусной мере дуги.
Если в задаче требуется периметр сектора, складывают два радиуса и длину дуги:
Иногда фигура составлена из сектора и других частей. Тогда разбивайте её на простые фигуры: отдельные секторы, круги, треугольники или кольца. Для разности двух концентрических кругов пригодится страница площадь кольца. Если сектор вырезан из круга, площадь оставшейся части получают вычитанием: \(S_{\text{остатка}}=S_{\text{круга}}-S_{\text{сектора}}\).
1. Делят на \(180^\circ\), хотя полный угол равен \(360^\circ\). 2. Возводят в квадрат угол вместо радиуса: в формуле стоит \(r^2\), а не \(\alpha^2\). 3. Используют диаметр как радиус: если дан диаметр \(d\), то \(r=\frac d2\). 4. Забывают единицы площади: ответ записывают в см², м² и так далее. 5. Округляют \(\pi\) слишком рано, из-за чего появляется лишняя погрешность.
Площадь сектора — это доля площади круга, равная доле центрального угла от полного угла: \(\frac{S_{\text{сектора}}}{\pi r^2}=\frac{\alpha}{360^\circ}\).
Алгоритм решения задач
- Определите радиус. Если дан диаметр, разделите его на два.
- Уточните, в каких единицах задан центральный угол: градусах или радианах.
- Выберите соответствующую формулу площади сектора.
- Подставьте данные, аккуратно возведите радиус в квадрат и сократите дробь.
- Проверьте, что площадь не превышает площадь полного круга и указаны квадратные единицы.
Быстрая проверка
Главное
- Сектор ограничен двумя радиусами и дугой; его угол — центральный.
- При угле в градусах используйте \(S=\frac{\alpha}{360^\circ}\pi r^2\).
- При угле в радианах используйте \(S=\frac12r^2\varphi\).
- Неизвестный угол или радиус находят алгебраическим преобразованием основной формулы.
- Проверяйте единицы, величину результата и соответствие угла полной окружности.