Формулы сокращённого умножения
Формулы сокращённого умножения помогают быстро преобразовывать выражения без полного раскрытия скобок и громоздкого умножения многочленов. На этой странице разобраны квадрат суммы, квадрат разности, произведение суммы и разности, а также типичные задания на их распознавание и применение.
Что называют формулами сокращённого умножения
Формулы сокращённого умножения — это тождества, верные при любых допустимых значениях входящих в них переменных. Они связывают произведения и многочлены, поэтому позволяют выполнять преобразования быстрее и надёжнее.
Алгебраическое тождество — равенство, верное при всех значениях переменных, при которых выражения имеют смысл. Например, \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) — тождество.
Басты бет идея: степень скобки означает умножение этой скобки самой на себя. Например, \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). Далее применяют правило умножения многочленов и приводят подобные слагаемые.
В квадрате двучлена всегда появляются три слагаемых: квадрат первого выражения, удвоенное произведение первого и второго, квадрат второго выражения.
Квадрат суммы и квадрат разности
Квадрат суммы получают, когда двучлен \(a+b\) возводят во вторую степень. Средний член положителен. В квадрате разности средний член отрицателен: знак определяется знаком между слагаемыми в исходной скобке.
Чтобы возвести сумму или разность в квадрат, возведите в квадрат каждый член и прибавьте или вычтите удвоенное произведение этих членов. Последний член в обоих случаях равен квадрату второго выражения и имеет знак «плюс».
Формула квадрата разности выводится аналогично: \((a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2\).
Как распознать квадрат двучлена
Выражение \(a^2+2ab+b^2\) является квадратом суммы: \((a+b)^2\). Выражение \(a^2-2ab+b^2\) является квадратом разности: \((a-b)^2\). Для проверки сравните первый и последний члены с квадратами, а средний — с удвоенным произведением их квадратных корней.
Например, \(x^2+10x+25\) можно представить как \(x^2+2\cdot x\cdot5+5^2\), значит, это \((x+5)^2\). Такой обратный переход называют выделением квадрата двучлена.
Как преобразовать выражение \(y^2-12y+36\)?
Произведение суммы и разности
Если перемножить сумму и разность одних и тех же выражений, средние слагаемые уничтожаются. Поэтому результат содержит только разность квадратов.
Произведение суммы и разности двух выражений равно разности их квадратов: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).
Формулу можно применять и в обратную сторону. Если видим \(a^2-b^2\), то раскладываем на множители: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Оба слагаемых должны быть квадратами, а между ними должен стоять знак «минус».
Если скобки уже стоят рядом и отличаются только знаком между двумя членами, используйте произведение суммы и разности. Если есть квадрат скобки, используйте формулу квадрата суммы или разности.
Применение в тапсырмаларда
В экзаменационных заданиях формулы нужны для упрощения выражений, вычислений, разложения на множители и проверки равенств. Перед преобразованием полезно определить форму выражения: квадрат скобки, произведение двух скобок или разность квадратов.
Упростим выражение \(E=(3x-2)^2-(3x+2)(3x-2)\) и найдём его значение при \(x=5\).
Жауабы: \(E=-52\). Обратите внимание: знак «минус» перед второй скобкой меняет знаки всех её слагаемых. Если сначала упростить выражение формулами, вычисления становятся короче.
Квадрат суммы нескольких слагаемых
Для трёх слагаемых действует расширенная формула. Она получается из последовательного умножения или из группировки выражения как \((a+b+c)^2=((a+b)+c)^2\).
То есть нужно взять квадраты всех слагаемых и добавить удвоенные произведения каждой пары. Для четырёх и более слагаемых правило сохраняется: квадраты всех слагаемых плюс удвоенные произведения всех различных пар.
Подробный разбор формулы для трёх и более слагаемых смотрите на странице «Квадрат суммы нескольких слагаемых». Общие свойства тождеств собраны на странице «Основные алгебраические тождества».
Частые ошибки и проверка результата
Қате: \((a+b)^2=a^2+b^2\). Правильно: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Средний член появляется из двух произведений \(ab\).
Қате: \((a-b)^2=a^2-2ab-b^2\). Правильно: последний член всегда \(+b^2\), поэтому \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
При преобразовании \(A-(B-C)\) знак меняется у каждого слагаемого: \(A-B+C\). Нельзя менять знак только у первого члена.
- Тексеру, действительно ли первые и последние члены являются квадратами.
- Сравнить средний член с удвоенным произведением квадратных корней.
- В квадрате разности оставить последний член положительным.
- После преобразования при необходимости раскрыть результат обратно для проверки.
Жылдам тест
Проверь формулы сокращённого умножения
Главное
- \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) — квадрат суммы.
- \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) — квадрат разности; последний член всегда положителен.
- \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) — произведение суммы и разности.
- Для обратного распознавания проверяйте квадраты первого и последнего членов и удвоенное произведение.
- В квадрате суммы нескольких слагаемых учитываются квадраты всех слагаемых и удвоенные произведения всех пар.