Задания № 1, 10 · ОГЭ

Перевод из десятичной системы

Как переводить целые и дробные числа из десятичной системы в систему с основанием \(q\)

6 мин чтенияСложность: Обновлено 29 сентября 2026

Чтобы перевести число из десятичной системы в систему с основанием \(q\), целую часть последовательно делят на \(q\), а дробную часть последовательно умножают на \(q\). В обоих случаях полученные цифры читают в специальном порядке: остатки — снизу вверх, целые части произведений — сверху вниз.

Что нужно знать перед переводом

Основание системы счисления \(q\) показывает, сколько цифр используется в этой системе: от \(0\) до \(q-1\). Например, в двоичной системе \(q=2\) используются цифры \(0\) и \(1\), в восьмеричной — цифры от \(0\) до \(7\), в шестнадцатеричной — цифры \(0\)–\(9\) и буквы \(A\)–\(F\) для значений от \(10\) до \(15\). Перед переводом полезно повторить основание системы.

Позиционная запись

В позиционной системе счисления значение цифры зависит от её разряда. Число \(a_na_{n-1}\ldots a_1a_0{,}a_{-1}a_{-2}\ldots\) в системе с основанием \(q\) означает сумму цифр, умноженных на соответствующие степени основания.

\[(a_na_{n-1}\ldots a_0{,}a_{-1}a_{-2})_q=\sum_{i=0}^{n}a_iq^i+\sum_{i=1}^{2}a_{-i}q^{-i}\]

Эта запись помогает проверять результат. Цифры слева от запятой соответствуют неотрицательным степеням основания, а цифры справа — отрицательным степеням. Обратный процесс описан на странице перевод в десятичную систему.

Перевод целой части делением

Для целого десятичного числа применяют последовательное деление на основание новой системы. На каждом шаге записывают частное и остаток. Остаток всегда находится в пределах от \(0\) до \(q-1\), поэтому является допустимой цифрой новой системы.

Правило перевода целого числа

Чтобы перевести целое число \(N\) из десятичной системы в систему с основанием \(q\), нужно делить \(N\) на \(q\) до тех пор, пока частное не станет равно нулю. Остатки выписывают в обратном порядке: последний остаток становится первой цифрой результата.

\[N=q\cdot c+r,\qquad 0\le r<q\]

Первый остаток — это цифра младшего разряда, то есть цифра \(q^0\). Следующий остаток — цифра разряда \(q^1\), и так далее. Поэтому при чтении снизу вверх разряды автоматически располагаются от старшего к младшему. Подробный алгоритм приведён на странице алгоритм перевода из десятичной.

Разделите число на \(q\) с остатком.
Запишите остаток.
Замените число частным и повторяйте деление, пока частное не станет нулём.
Прочитайте записанные остатки снизу вверх.

№

Пример: перевод \(157_{10}\) в восьмеричную систему

Делим число на \(8\). Остатки читаем снизу вверх.

Первое деление даёт младшую цифру восьмеричной записи.

\(\displaystyle 157=8\cdot19+5\)

Продолжаем делить полученное частное.

\(\displaystyle 19=8\cdot2+3\)

Последнее ненулевое частное даёт старшую цифру.

\(\displaystyle 2=8\cdot0+2\)

Читаем остатки в обратном порядке.

\(\displaystyle (157)_{10}=(235)_8\)

Проверка: \(2\cdot8^2+3\cdot8+5=128+24+5=157\). Значит, перевод выполнен верно. Такой способ подробно рассматривается на странице перевод целого числа делением.

Перевод дробной части умножением

Для дробной части используется другой алгоритм. Десятичную дробь последовательно умножают на \(q\). Целая часть каждого произведения становится очередной цифрой справа от запятой. Затем для следующего шага берут только дробную часть произведения.

Правило перевода дроби

Чтобы перевести дробь \(0< x<1\) из десятичной системы в систему с основанием \(q\), умножайте её на \(q\). Целую часть результата записывайте очередной цифрой после запятой, а дробную часть снова умножайте на \(q\).

\[x_0=x,\qquad x_{k-1}\cdot q=a_{-k}+x_k,\qquad 0\le x_k<1\]

Если на некотором шаге дробная часть стала равна нулю, перевод заканчивается: дробь представима конечной записью. Если дробная часть повторяется или процесс не заканчивается, получается периодическая или бесконечная дробь. Подробные особенности этого метода собраны на странице перевод дробей умножением.

Микропроверка

Как читают цифры, полученные при последовательном делении целого числа на основание системы?

Перевод числа с целой и дробной частями

Если число имеет обе части, например \(13{,}625_{10}\), переводят их отдельно: целую часть — делением, дробную — умножением. Затем результаты соединяют запятой. Это правило является основой перевода в смешанную запись; более сложные случаи разобраны на странице перевод числа в смешанную систему.

№

Экзаменационный пример: \(13{,}625_{10}\) в двоичную систему

Целую часть \(13\) переводим делением на \(2\), дробную часть \(0{,}625\) — умножением на \(2\).

Переводим целую часть делением на основание \(2\).

\(\displaystyle 13=2\cdot6+1;\quad 6=2\cdot3+0;\quad 3=2\cdot1+1;\quad 1=2\cdot0+1\)

Остатки читаем снизу вверх.

\(\displaystyle (13)_{10}=(1101)_2\)

Первое умножение дробной части даёт первую двоичную цифру после запятой.

\(\displaystyle 0{,}625\cdot2=1{,}25\Rightarrow a_{-1}=1\)

Для следующего шага берём дробную часть \(0{,}25\).

\(\displaystyle 0{,}25\cdot2=0{,}5\Rightarrow a_{-2}=0\)

Продолжаем умножение.

\(\displaystyle 0{,}5\cdot2=1{,}0\Rightarrow a_{-3}=1\)

Дробная часть стала нулевой, перевод закончен.

\(\displaystyle (13{,}625)_{10}=(1101{,}101)_2\)

Проверим дробную часть: \(1\cdot2^{-1}+0\cdot2^{-2}+1\cdot2^{-3}=\frac12+\frac18=0{,}625\). Вся запись действительно равна исходному числу.

Ограниченная точность и контроль результата

Не всякая десятичная дробь имеет конечную запись в новой системе. Если после нескольких умножений дробная часть не становится нулевой, процесс продолжают до требуемого количества знаков или до обнаружения периода. В заданиях экзамена обычно либо задано число знаков, либо дробь подбирается так, чтобы перевод завершался.

Как проверить ответ

Для целой части умножьте цифры результата на степени \(q\) и сложите. Для дробной части используйте отрицательные степени: первая цифра после запятой умножается на \(q^{-1}\), вторая — на \(q^{-2}\) и так далее. Можно также выполнить обратный перевод в десятичную систему.

Частые ошибки

1. Читают остатки сверху вниз. Это меняет порядок разрядов. 2. Делят дробь вместо умножения. Для целой части используется деление, для дробной — умножение. 3. Переносят в следующий шаг всё произведение. Нужно переносить только его дробную часть. 4. Записывают недопустимый остаток. Остаток при делении на \(q\) не может быть больше \(q-1\). 5. Забывают про ведущие нули после запятой. Например, цифра \(0\) на первом дробном разряде обязательна.

Если перевод выполняется через промежуточную систему, например через двоичную, нужно отдельно контролировать соответствие разрядов и оснований. Такой приём изучается на странице перевод через промежуточную систему.

Quick-test

Быстрый тест по теме

Проверьте себя

~ 2 мин4 вопроса

Вопрос 1 / 4

Вопрос 1 из 4 · деление с остатком

Какой остаток получается при делении \(45\) на \(8\)?

Главное за минуту

Главное

Основание новой системы \(q\) определяет допустимые цифры: от \(0\) до \(q-1\).
Целую часть переводят последовательным делением на \(q\), остатки читают снизу вверх.
Дробную часть переводят последовательным умножением на \(q\), целые части произведений читают сверху вниз.
Целую и дробную части смешанного числа переводят отдельно и соединяют запятой.
Результат проверяют раскрытием записи через степени основания или обратным переводом в десятичную систему.