ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задания № 16, 18 · ОГЭ

Расчёты состава и плотности сплавов

Алгоритмы нахождения массы, объёма, массового состава и плотности многокомпонентных сплавов
6 мин чтенияСложность: Обновлено 29 сентября 2026

Задачи о сплавах решают через связь массы, объёма и плотности компонентов. Главная идея: масса сплава равна сумме масс компонентов, а объём сплава в школьных расчётах считают равным сумме объёмов компонентов, если иное не сказано в условии.

Основные понятия и модель сплава

Сплав — однородный материал, состоящий из двух или нескольких веществ, обычно металлов. В задачах каждый компонент характеризуется массой \(m_i\), объёмом \(V_i\) и плотностью \(\rho_i\). Индекс \(i\) обозначает номер компонента: 1, 2, 3 и так далее.

D
Массовая доля компонента

Массовая доля компонента — отношение его массы к массе всего сплава. Она показывает, какую часть массы сплава составляет данный компонент. При записи в процентах долю умножают на 100%.

\[w_i=\frac{m_i}{m_{\text{спл}}};\qquad w_i(\%)=\frac{m_i}{m_{\text{спл}}}\cdot100\%\]

Перед решением полезно повторить массовую долю металла в сплаве и аддитивность массы. Массы компонентов складываются без приближения:

\[m_{\text{спл}}=m_1+m_2+\ldots+m_n\]
T
Правило расчёта объёма

Если в условии используется модель идеального смешения и не учитывается изменение объёма при сплавлении, объём сплава равен сумме объёмов компонентов. Объём каждого компонента находят по его массе и плотности.

\[V_{\text{спл}}=V_1+V_2+\ldots+V_n=\frac{m_1}{\rho_1}+\frac{m_2}{\rho_2}+\ldots+\frac{m_n}{\rho_n}\]

Плотность многокомпонентного сплава

Плотность — это отношение массы тела к его объёму. Для сплава сначала находят общую массу и общий объём, а затем делят одно на другое. Нельзя просто сложить плотности компонентов или взять их среднее арифметическое: компоненты могут занимать разные объёмы и иметь разные массы.

\[\rho_{\text{спл}}=\frac{m_{\text{спл}}}{V_{\text{спл}}}=\frac{\sum m_i}{\sum\frac{m_i}{\rho_i}}\]

Если известны массовые доли \(w_i\), массу сплава можно принять за \(m\). Тогда \(m_i=w_i m\), и общая масса сокращается:

\[\rho_{\text{спл}}=\frac{1}{\frac{w_1}{\rho_1}+\frac{w_2}{\rho_2}+\ldots+\frac{w_n}{\rho_n}}\]
T
Плотность по массовым долям

Плотность сплава с известными массовыми долями компонентов находят как величину, обратную сумме отношений массовых долей к плотностям компонентов. Такая формула применима при аддитивности объёмов.

Подробный частный случай для двух компонентов разобран на странице плотность сплава по массовым долям. Если в условии даны массы, удобнее пользоваться отношением \(m/V\) напрямую.

Проверь себя

В сплаве 40% вещества плотностью \(8\ \text{г/см}^3\) и 60% вещества плотностью \(6\ \text{г/см}^3\). Какая формула верна для плотности сплава?

Алгоритмы решения задач

Выбор алгоритма зависит от известных величин. В задачах на общий объём можно использовать формулы со страницы объём сплава по массе, а при известном объёме — формулы со страницы масса сплава по объёму.

  1. Запишите данные в одной системе единиц. Например, плотность в \(\text{г/см}^3\), массу в граммах, объём в \(\text{см}^3\).
  2. Определите неизвестную величину и выберите формулу: \(\rho=m/V\), \(m=\rho V\) или \(V=m/\rho\).
  3. Если даны проценты, переведите их в доли: \(25\%=0{,}25\).
  4. Найдите массы компонентов. При доле \(w_i\) и общей массе \(m\) используйте \(m_i=w_i m\).
  5. Рассчитайте объёмы компонентов \(V_i=m_i/\rho_i\) и сложите их.
  6. Проверьте единицы, округление и физический смысл ответа.
Удобный приём

Если даны только массовые доли, возьмите условную массу сплава, например 100 г. Тогда процент сразу превращается в граммы: 35% означает 35 г. После вычисления объёма разделите 100 г на найденный объём.

Разобранный пример: сплав двух металлов

№
Условие

Сплав массой 500 г состоит из меди массой 300 г и цинка массой 200 г. Плотность меди равна \(8{,}9\ \text{г/см}^3\), плотность цинка — \(7{,}1\ \text{г/см}^3\). Найдите плотность сплава и массовые доли металлов.

1
Проверяем общую массу сплава по аддитивности массы.
\(\displaystyle m_{\text{спл}}=300+200=500\ \text{г}\)
2
Находим объём меди по её массе и плотности.
\(\displaystyle V_{\text{Cu}}=\frac{300}{8{,}9}\approx33{,}71\ \text{см}^3\)
3
Находим объём цинка.
\(\displaystyle V_{\text{Zn}}=\frac{200}{7{,}1}\approx28{,}17\ \text{см}^3\)
4
Складываем объёмы компонентов согласно принятой модели.
\(\displaystyle V_{\text{спл}}=33{,}71+28{,}17\approx61{,}88\ \text{см}^3\)
5
Вычисляем плотность сплава.
\(\displaystyle \rho_{\text{спл}}=\frac{500}{61{,}88}\approx8{,}08\ \text{г/см}^3\)
6
Находим массовые доли меди и цинка.
\(\displaystyle w_{\text{Cu}}=\frac{300}{500}=0{,}60=60\%;\qquad w_{\text{Zn}}=\frac{200}{500}=0{,}40=40\%\)

Ответ: плотность сплава примерно \(8{,}08\ \text{г/см}^3\), массовая доля меди — 60%, цинка — 40%. Полученная плотность находится между плотностями меди и цинка, что является разумной проверкой.

Единицы, проверки и типичные ошибки

ВеличинаОсновная единицаСвязь
Массаг\(1\ \text{кг}=1000\ \text{г}\)
Объёмсм³\(1\ \text{л}=1000\ \text{см}^3\)
Плотностьг/см³\(1\ \text{г/см}^3=1000\ \text{кг/м}^3\)
Массовая долядоля или %\(w=\text{проценты}/100\)
!
Частые ошибки

1. Складывают плотности компонентов или находят их обычное среднее. 2. Используют проценты вместо долей: в формулу нужно подставлять 0,2, а не 20. 3. Складывают массы и объёмы, записанные в разных единицах. 4. Путают массовую долю с объёмной. 5. Забывают, что формула \(V_{\text{спл}}=\sum V_i\) является моделью задачи и может быть неприменима, если в условии дано изменение объёма при сплавлении.

Быстрая проверка ответа

Плотность сплава должна лежать между наименьшей и наибольшей плотностями его компонентов при принятой модели. Сумма массовых долей должна быть равна 1 или 100%, а размерность результата для плотности — г/см³ или кг/м³.

Если в задаче участвует вода, заранее проверьте единицы и значение плотности на странице плотность воды в расчётах. Не смешивайте расчёт плотности сплава с задачами о плотности насыщенного раствора: у раствора могут быть другие условия и формулы.

Q
Быстрый тест по теме

Итоговая самопроверка

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · массовая доля
Как найти массу компонента с массовой долей \(w\) в сплаве массой \(m\)?
Главное за минуту

Главное

  • Масса сплава равна сумме масс компонентов: \(m_{\text{спл}}=\sum m_i\).
  • При аддитивности объёмов \(V_{\text{спл}}=\sum(m_i/\rho_i)\).
  • Плотность сплава находят как \(\rho_{\text{спл}}=m_{\text{спл}}/V_{\text{спл}}\).
  • По массовым долям используют формулу \(\rho_{\text{спл}}=1/\sum(w_i/\rho_i)\).
  • Перед ответом проверьте единицы, сумму долей и попадание плотности сплава между плотностями компонентов.