Решение: Тепловое равновесие воды и шариков
В стакан с водой, нагретой до температуры $t_1 = 50\,^{\circ}\mathrm{C}$, положили металлический шарик, имеющий температуру $t_2 = 10\,^{\circ}\mathrm{C}$. После установления теплового равновесия температура воды стала равной $t_3$. Затем, не вынимая первого шарика, в стакан положили ещё один такой же шарик температурой $t_2$. Конечная температура в стакане оказалась $t_4 = 34\,^{\circ}\mathrm{C}$. Определите температуру воды $t_3$ после того, как в стакан положили первый шарик. Теплообменом с окружающей средой пренебречь.
Решение по шагам
5 шаговОбозначим теплоёмкость воды через $C$, а теплоёмкость одного металлического шарика — через $c$. На первом этапе вода остывает от $50\,^{\circ}\mathrm{C}$ до $t_3$, а шарик нагревается от $10\,^{\circ}\mathrm{C}$ до $t_3$.
$$C(50-t_3)=c(t_3-10)$$После первого этапа вода и первый шарик имеют одинаковую температуру $t_3$. При помещении второго шарика до температуры $34\,^{\circ}\mathrm{C}$ остывают вода и первый шарик, а второй шарик нагревается от $10\,^{\circ}\mathrm{C}$ до $34\,^{\circ}\mathrm{C}$.
$$(C+c)(t_3-34)=c(34-10)$$Из первого уравнения выразим отношение теплоёмкостей.
$$\frac{C}{c}=\frac{t_3-10}{50-t_3}$$Подставим это отношение во второе уравнение и разделим его на $c$.
$$\left(\frac{t_3-10}{50-t_3}+1\right)(t_3-34)=24$$Упростим выражение в скобках и решим уравнение.
$$\frac{40}{50-t_3}(t_3-34)=24;\quad 40(t_3-34)=24(50-t_3);\quad 5(t_3-34)=3(50-t_3);\quad 8t_3=320$$t_3 = 40\,^{\circ}\mathrm{C}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать теплоёмкость первого шарика на втором этапе.
Считать, что второй шарик нагревается до температуры первого этапа $t_3$, а не до конечной температуры $34\,^{\circ}\mathrm{C}$.
Путать начальную температуру шариков $10\,^{\circ}\mathrm{C}$ с конечной температурой системы.