Решение: Нагрев газа с пружиной
В горизонтальном цилиндре с гладкими стенками под массивным поршнем с площадью $S$ находится одноатомный идеальный газ. Поршень соединён с основанием цилиндра пружиной с жёсткостью $k$. В начальном состоянии расстояние между поршнем и основанием цилиндра равно $L$, а давление газа в цилиндре равно внешнему атмосферному давлению $p_0$. Какое количество теплоты $Q$ передано затем газу, если в результате поршень медленно переместился вправо на расстояние $b$?
Решение по шагам
6 шаговВ начальном состоянии давление газа равно атмосферному, поэтому пружина не деформирована. Если поршень сместился вправо на расстояние $x$, пружина растянулась на $x$ и действует на поршень с силой $kx$ влево.
Из условия медленного равновесия поршня: $p(x)S=p_0S+kx$. Следовательно, давление газа в процессе равно
$$p(x)=p_0+\frac{kx}{S}$$Работа газа при перемещении поршня найдена интегрированием по пути:
$$A=\int_0^b p(x)S\,dx=\int_0^b\left(p_0S+kx\right)dx=p_0Sb+\frac{kb^2}{2}$$Начальный и конечный объёмы газа равны $V_\text{н}=SL$ и $V_\text{к}=S(L+b)$. Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии определяется формулой
$$\Delta U=\frac{3}{2}\left(p_\text{к}V_\text{к}-p_\text{н}V_\text{н}\right)$$Конечное давление равно $p_\text{к}=p_0+\dfrac{kb}{S}$. Поэтому
$$\Delta U=\frac{3}{2}\left[\left(p_0+\frac{kb}{S}\right)S(L+b)-p_0SL\right]=\frac{3}{2}\left(p_0Sb+kbL+kb^2\right)$$По первому закону термодинамики $Q=\Delta U+A$. Подставляя найденные выражения, получаем
$$Q=\frac{3}{2}\left(p_0Sb+kbL+kb^2\right)+p_0Sb+\frac{kb^2}{2}=\frac{5}{2}p_0Sb+\frac{3}{2}kbL+2kb^2$$Количество теплоты: $Q=\dfrac{5}{2}p_0Sb+\dfrac{3}{2}kbL+2kb^2$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать давление газа постоянным и равным $p_0$ во время всего процесса.
Не учитывать работу по растяжению пружины.
Использовать формулу изменения внутренней энергии не для одноатомного газа.
Взять конечный объём равным $Sb$ вместо $S(L+b)$.