Решение: Фокусное расстояние объектива
Условимся считать изображение на плёнке фотоаппарата резким, если вместо идеального изображения в виде точки на плёнке получается изображение пятна диаметром не более $0{,}05\ \text{мм}$. Поэтому если объектив находится на фокусном расстоянии от плёнки, то резкими считаются не только бесконечно удалённые предметы, но и все предметы, находящиеся дальше некоторого расстояния $d$. Найдите фокусное расстояние объектива, если при «относительном отверстии» $\alpha = 4$ резкими оказались все предметы далее $12{,}5\ \text{м}$. «Относительное отверстие» — это отношение фокусного расстояния к диаметру входного отверстия объектива. Сделайте рисунок, поясняющий образование пятна.
Решение по шагам
5 шаговОбозначим через $D$ диаметр входного отверстия объектива, через $f$ — его фокусное расстояние, а через $c$ — максимально допустимый диаметр пятна. По условию $c = 0{,}05\ \text{мм} = 5 \cdot 10^{-5}\ \text{м}$.
Из определения относительного отверстия получаем:
$$\alpha = \frac{f}{D},\qquad D = \frac{f}{\alpha}$$Для предмета на расстоянии $d$ его изображение находится немного дальше фокуса. Из уравнения тонкой линзы $1/f = 1/d + 1/b$ следует $b = fd/(d-f)$. При установке плёнки в фокальной плоскости крайние лучи образуют на ней пятно. Из подобия треугольников:
$$c = D\frac{b-f}{b} = D\frac{f}{d}$$Подставим $D=f/\alpha$ и найдём фокусное расстояние:
$$c = \frac{f^2}{\alpha d},\qquad f = \sqrt{c\alpha d}$$Выполним вычисления:
$$f = \sqrt{5\cdot10^{-5}\cdot4\cdot12{,}5}\ \text{м} = \sqrt{2{,}5\cdot10^{-3}}\ \text{м} = 5\cdot10^{-2}\ \text{м}$$$f = 0{,}05\ \text{м} = 50\ \text{мм}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не перевести диаметр пятна из миллиметров в метры.
Использовать формулу $c = Df/d$ без объяснения через подобие треугольников.
Перепутать относительное отверстие $\alpha=f/D$ с диаметром отверстия.
Забыть, что рисунок должен показывать расхождение крайних лучей и образование пятна на плёнке.