Решение: Мощность резистора при замыкании ключа
Во сколько раз уменьшится мощность, выделяемая на резисторе $R_2$, при замыкании ключа $K$ (см. рисунок), если $R_1 = R_2 = R_3 = 1\ \text{Ом}$, $r = 0{,}5\ \text{Ом}$?
Решение по шагам
9 шаговОбозначим ЭДС источника через $\mathcal{E}$. Сначала ключ разомкнут. Все сопротивления цепи, включая внутреннее сопротивление источника, соединены последовательно.
$$R_{\text{общ,1}} = r + R_1 + R_2 = 0{,}5 + 1 + 1 = 2{,}5\ \text{Ом}$$Ток через резистор $R_2$ при разомкнутом ключе равен току всей цепи.
$$I_{2,1} = \frac{\mathcal{E}}{2{,}5} = \frac{2\mathcal{E}}{5}$$Мощность, выделяемая на $R_2$ при разомкнутом ключе:
$$P_{2,1} = I_{2,1}^2R_2 = \left(\frac{2\mathcal{E}}{5}\right)^2 \cdot 1 = \frac{4\mathcal{E}^2}{25}$$После замыкания ключа резисторы $R_2$ и $R_3$ соединены параллельно. Их эквивалентное сопротивление равно:
$$R_{23} = \frac{R_2R_3}{R_2+R_3} = \frac{1\cdot1}{1+1} = 0{,}5\ \text{Ом}$$Полное сопротивление цепи при замкнутом ключе:
$$R_{\text{общ,2}} = r + R_1 + R_{23} = 0{,}5 + 1 + 0{,}5 = 2\ \text{Ом}$$Напряжение на параллельном участке $R_2R_3$ равно произведению тока в цепи на его сопротивление:
$$U_{23} = \frac{\mathcal{E}}{2}\cdot0{,}5 = \frac{\mathcal{E}}{4}$$Ток через $R_2$ после замыкания ключа:
$$I_{2,2} = \frac{U_{23}}{R_2} = \frac{\mathcal{E}}{4}$$Мощность, выделяемая на $R_2$ после замыкания ключа:
$$P_{2,2} = I_{2,2}^2R_2 = \left(\frac{\mathcal{E}}{4}\right)^2 \cdot 1 = \frac{\mathcal{E}^2}{16}$$Во сколько раз уменьшилась мощность:
$$\frac{P_{2,1}}{P_{2,2}} = \frac{4\mathcal{E}^2/25}{\mathcal{E}^2/16} = \frac{64}{25} = 2{,}56$$Мощность, выделяемая на резисторе $R_2$, уменьшится в $2{,}56$ раза.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать внутреннее сопротивление источника при расчёте общего тока.
Считать резисторы $R_2$ и $R_3$ соединёнными последовательно после замыкания ключа.
Использовать ток всей цепи для расчёта мощности $R_2$ после замыкания ключа, хотя ток делится между параллельными ветвями.
Сравнить мощности в неправильном порядке и получить отношение меньше единицы.