Решение: Энергия заряженного конденсатора
Батарея из четырёх конденсаторов электроёмкостью $C_1=2C$, $C_2=C$, $C_3=4C$ и $C_4=2C$ подключена к источнику постоянного тока с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$ (см. рисунок). Определите энергию конденсатора $C_2$.
Решение по шагам
5 шаговКонденсаторы $C_1$ и $C_3$ подключены между левым и средним узлами параллельно. Их общая ёмкость равна:
$$C_{\text{л}}=C_1+C_3=2C+4C=6C$$Конденсаторы $C_2$ и $C_4$ подключены между средним и правым узлами параллельно. Их общая ёмкость равна:
$$C_{\text{пр}}=C_2+C_4=C+2C=3C$$Полученные группы соединены последовательно. В установившемся режиме ток через источник отсутствует, поэтому падение напряжения на внутреннем сопротивлении равно нулю, а напряжение между крайними узлами равно ЭДС источника $\mathcal{E}$.
$$U_{\text{л}}+U_{\text{пр}}=\mathcal{E}$$При последовательном соединении групп заряды на них одинаковы, поэтому напряжения обратно пропорциональны их ёмкостям. Напряжение на правой группе, а значит и на конденсаторе $C_2$, равно:
$$U_2=U_{\text{пр}}=\mathcal{E}\frac{C_{\text{л}}}{C_{\text{л}}+C_{\text{пр}}}=\mathcal{E}\frac{6C}{6C+3C}=\frac{2\mathcal{E}}{3}$$Энергия заряженного конденсатора определяется формулой $W=\dfrac{CU^2}{2}$. Для конденсатора $C_2=C$ получаем:
$$W_2=\frac{C_2U_2^2}{2}=\frac{C}{2}\left(\frac{2\mathcal{E}}{3}\right)^2=\frac{2C\mathcal{E}^2}{9}$$$W_2=\dfrac{2C\mathcal{E}^2}{9}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать конденсаторы $C_1$ и $C_2$ соединёнными последовательно без учёта соединения средних узлов.
Использовать напряжение источника непосредственно как напряжение на $C_2$.
Учитывать падение напряжения на внутреннем сопротивлении $r$ в установившемся режиме постоянного тока.
Применить формулу энергии без возведения напряжения в квадрат.