Решение: Изменение импульса пули
Шар массой $1\ \text{кг}$, подвешенный на нити длиной $90\ \text{см}$, отводят от положения равновесия на угол $60^\circ$ и отпускают. В момент прохождения шара через положение равновесия в него попадает пуля, летящая навстречу шару, которая пробивает его и продолжает двигаться горизонтально. Определите модуль изменения импульса пули в результате попадания в шар, если шар, продолжая движение в прежнем направлении, отклоняется на угол $39^\circ$. Массу шара считать неизменной; диаметр шара — пренебрежимо малым по сравнению с длиной нити; $\cos 39^\circ = \dfrac{7}{9}$. Сопротивлением воздуха пренебречь. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение по шагам
6 шаговДо попадания пули шар движется из положения, соответствующего углу $60^\circ$, до положения равновесия. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, а натяжение нити работы не совершает, поэтому для шара применим закон сохранения механической энергии.
$$Mg l(1-\cos 60^\circ)=\frac{Mv^2}{2}$$Скорость шара непосредственно перед попаданием пули равна
$$v=\sqrt{2gl(1-\cos60^\circ)}=\sqrt{2\cdot10\cdot0{,}9\cdot\frac12}=3\ \text{м/с}$$После прохождения пули шар поднимается до угла $39^\circ$. Между столкновением и достижением этой точки снова применим закон сохранения механической энергии.
$$\frac{Mu^2}{2}=Mgl(1-\cos39^\circ)$$С учётом условия $\cos39^\circ=\frac79$ получаем скорость шара сразу после попадания пули:
$$u=\sqrt{2gl\left(1-\frac79\right)}=\sqrt{2\cdot10\cdot0{,}9\cdot\frac29}=2\ \text{м/с}$$Во время попадания пули шар и пуля взаимодействуют очень короткое время. Внешний импульс в горизонтальном направлении можно считать пренебрежимо малым, поскольку импульс силы натяжения нити в этот момент направлен вертикально, а импульс силы тяжести мал. Поэтому сохраняется горизонтальная составляющая импульса системы «пуля — шар». Пуля и шар движутся навстречу друг другу до столкновения, а после столкновения шар продолжает движение в прежнем для него направлении.
$$p_{\text{пули, до}}-Mv=p_{\text{пули, после}}+Mu$$Из закона сохранения импульса следует, что изменение импульса пули по модулю равно изменению импульса шара по модулю:
$$\left|\Delta\vec p_{\text{пули}}\right|=\left|\Delta\vec p_{\text{шара}}\right|=M(v+u)=1\cdot(3+2)=5\ \text{кг}\cdot\text{м/с}$$Модуль изменения импульса пули равен $5\ \text{кг}\cdot\text{м/с}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Использовать закон сохранения механической энергии непосредственно во время столкновения пули с шаром.
Считать, что скорость шара после попадания пули определяется углом $39^\circ$ относительно горизонтали, а не относительно положения равновесия.
Вычесть скорости шара вместо сложения, не учитывая, что до столкновения шар и пуля двигались навстречу друг другу.
Не обосновать пренебрежение горизонтальным импульсом внешних сил во время кратковременного столкновения.