Решение: Изображение треугольника линзой
Прямоугольный треугольник расположен перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием $F = 20\ \text{см}$, как показано на рисунке. Катет треугольника, расположенный на главной оптической оси линзы, имеет длину $c = 2\ \text{см}$, а его гипотенуза составляет угол $\alpha = 60^\circ$ с главной оптической осью линзы. Постройте изображение треугольника в линзе. Определите тангенс угла между главной оптической осью линзы и гипотенузой создаваемого линзой изображения этого треугольника.
Решение по шагам
6 шаговВысота исходного треугольника определяется из прямоугольного треугольника:
$$h = c\tan\alpha = 2\tan 60^\circ = 2\sqrt{3}\ \text{см}$$Левый вертикальный катет находится на расстоянии $2F = 40\ \text{см}$ от линзы. Для его точек:
$$\frac{1}{F}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b},\quad b=\frac{Fa}{a-F}=\frac{20\cdot40}{40-20}=40\ \text{см}$$Изображение вертикального катета имеет такую же длину, но является перевёрнутым, поскольку увеличение равно $-1$. Поэтому изображение верхней вершины находится на высоте $2\sqrt{3}\ \text{см}$ по другую сторону главной оптической оси.
Правый конец основания находится на расстоянии $a_2=40-2=38\ \text{см}$. Его изображение расположено на расстоянии:
$$b_2=\frac{20\cdot38}{38-20}=\frac{380}{9}\ \text{см}$$Горизонтальное расстояние между изображением верхней вершины и изображением правого конца основания равно:
$$\Delta x=b_2-b_1=\frac{380}{9}-40=\frac{20}{9}\ \text{см}$$Вертикальное расстояние между этими точками равно $2\sqrt{3}\ \text{см}$. Поэтому тангенс угла наклона гипотенузы изображения к главной оптической оси равен:
$$\tan\beta=\frac{2\sqrt{3}}{20/9}=\frac{9\sqrt{3}}{10}$$\tan\beta=\frac{9\sqrt{3}}{10}\approx1{,}56
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют расстояние до правого конца основания, равное $2\ \text{см}$, вместо $38\ \text{см}$.
Не учитывают переворот изображения собирающей линзой.
Вычисляют угол по длине исходной гипотенузы, а не по координатам её изображённых концов.
Путают фокусное расстояние $F$ с расстоянием от предмета до линзы.