Решение: Ускорение клина с бруском
Под действием постоянной горизонтальной силы $\vec{F}$ клин массой $M = 1\ \text{кг}$ движется по гладкой горизонтальной поверхности стола. По шероховатой поверхности клина, составляющей угол $\alpha = 30^\circ$ с горизонтом, равномерно относительно клина скользит вниз брусок массой $m = 0{,}2\ \text{кг$. Коэффициент трения между бруском и клином $\mu = 0{,}6$. Найдите модуль ускорения клина. Сопротивлением воздуха пренебречь. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на брусок. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение по шагам
9 шаговТак как стол гладкий, клин движется горизонтально. Направим его ускорение вправо и обозначим его модуль через $a$. В системе отсчёта, связанной с клином, брусок покоится, поскольку он скользит равномерно относительно клина. Система отсчёта движется поступательно с ускорением, поэтому можно применять второй закон Ньютона, добавив силу инерции $\vec{F}_{\text{ин}} = -m\vec{a}$.
$$a_{\text{отн}} = 0$$На брусок действуют сила тяжести $m\vec{g}$, реакция опоры $\vec{N}$, сила трения $\vec{F}_{\text{тр}}$ и сила инерции. Так как брусок скользит вниз по наклонной плоскости, сила трения направлена вверх вдоль плоскости, а её модуль равен $F_{\text{тр}} = \mu N$.
$$F_{\text{тр}} = \mu N$$Запишем второй закон Ньютона в проекции на направление, перпендикулярное плоскости. Ускорение бруска относительно клина равно нулю, поэтому сумма проекций сил на это направление равна нулю.
$$N + ma\sin\alpha - mg\cos\alpha = 0$$Отсюда найдём реакцию опоры.
$$N = m(g\cos\alpha - a\sin\alpha)$$Запишем уравнение в проекции вдоль плоскости вниз. В этом направлении действуют составляющая силы тяжести $mg\sin\alpha$ и составляющая силы инерции $ma\cos\alpha$, а сила трения направлена противоположно.
$$mg\sin\alpha + ma\cos\alpha - \mu N = 0$$Подставим выражение для реакции опоры и сократим массу бруска.
$$g\sin\alpha + a\cos\alpha = \mu(g\cos\alpha - a\sin\alpha)$$Выразим ускорение клина.
$$a = g\frac{\mu\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha + \mu\sin\alpha}$$Подставим $\alpha = 30^\circ$, $\mu = 0{,}6$ и $g \approx 10\ \text{м/с}^2$.
$$a = 10\frac{0{,}6\cdot\cos30^\circ - \sin30^\circ}{\cos30^\circ + 0{,}6\cdot\sin30^\circ} \approx 0{,}17\ \text{м/с}^2$$Масса клина не входит в полученное выражение: она определяет значение внешней силы $F$, необходимой для сообщения клину найденного ускорения, но не влияет на это ускорение при заданном условии равномерного скольжения бруска относительно клина.
Модуль ускорения клина равен $a \approx 0{,}17\ \text{м/с}^2$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать силу инерции при рассмотрении движения в системе отсчёта, связанной с ускоряющимся клином.
Направить силу трения вниз по наклонной плоскости, хотя брусок скользит вниз и сила трения направлена вверх.
Использовать условие покоя бруска относительно стола вместо условия равномерного движения относительно клина.
Неправильно определить проекции силы инерции на направления вдоль и перпендикулярно наклонной плоскости.