Решение: Равновесие поршня с грузом
В вертикальном цилиндрическом сосуде с площадью поперечного сечения $S = 5\ \text{см}^2$, ограниченном сверху подвижным поршнем массой $M = 1\ \text{кг}$, находится воздух при комнатной температуре. Первоначально поршень находился на высоте $H = 13\ \text{см}$ от дна сосуда. На какой высоте $h$ от дна сосуда окажется поршень, если на него положить груз массой $m = 0{,}5\ \text{кг}$? Воздух считать идеальным газом, а его температуру — неизменной. Атмосферное давление принять равным $10^5\ \text{Па}$. Трение между стенками сосуда и поршнем не учитывать.
Решение по шагам
6 шаговВ начальном состоянии поршень находится в равновесии. Давление воздуха уравновешивает атмосферное давление и вес поршня:
$$p_1S = p_0S + Mg$$Отсюда начальное давление воздуха равно
$$p_1 = p_0 + \frac{Mg}{S} = 10^5 + \frac{1 \cdot 10}{5 \cdot 10^{-4}} = 1{,}2 \cdot 10^5\ \text{Па}$$После помещения груза на поршень давление воздуха увеличивается и определяется равновесием поршня с грузом:
$$p_2S = p_0S + (M+m)g$$Конечное давление воздуха равно
$$p_2 = p_0 + \frac{(M+m)g}{S} = 10^5 + \frac{(1+0{,}5) \cdot 10}{5 \cdot 10^{-4}} = 1{,}3 \cdot 10^5\ \text{Па}$$Температура воздуха не изменяется, поэтому применим закон Бойля—Мариотта. Объёмы воздуха равны $V_1 = SH$ и $V_2 = Sh$:
$$p_1SH = p_2Sh$$После сокращения площади поперечного сечения получаем
$$h = H\frac{p_1}{p_2} = 13\frac{1{,}2 \cdot 10^5}{1{,}3 \cdot 10^5} = 12\ \text{см}$$Высота поршня после помещения груза составит $h = 12\ \text{см}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать атмосферное давление в уравнении равновесия поршня.
Использовать массу поршня вместо суммы $M+m$ в конечном состоянии.
Считать давление обратно пропорциональным высоте без записи закона сохранения температуры.
Забыть, что объём воздуха равен $V = Sh$.