Решение: Шайба на наклонной плоскости
На шероховатой наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол $\alpha = 30^\circ$, лежит маленькая шайба массой $m = 500\ \text{г}$. Коэффициент трения шайбы о плоскость $\mu = 0{,}7$. Какую минимальную силу $F_{\min}$ в горизонтальном направлении вдоль плоскости надо приложить к шайбе, чтобы она сдвинулась с места?
Решение по шагам
6 шаговРассмотрим предельный момент перед началом движения шайбы вверх по наклонной плоскости. Сила трения направлена вниз по плоскости.
$$F_{\text{тр}} = \mu N$$Проекция горизонтальной силы на направление вдоль плоскости равна $F\cos\alpha$, а её нормальная составляющая прижимает шайбу к плоскости и равна $F\sin\alpha$.
$$N = mg\cos\alpha + F\sin\alpha$$Условие равновесия вдоль наклонной плоскости в момент начала движения:
$$F\cos\alpha = mg\sin\alpha + \mu N$$Подставим выражение для нормальной реакции:
$$F\cos\alpha = mg\sin\alpha + \mu\left(mg\cos\alpha + F\sin\alpha\right)$$Сгруппируем слагаемые, содержащие силу $F$:
$$F\left(\cos\alpha - \mu\sin\alpha\right) = mg\left(\sin\alpha + \mu\cos\alpha\right)$$Отсюда при $m = 0{,}5\ \text{кг}$, $g \approx 10\ \text{м/с}^2$, $\sin 30^\circ = 0{,}5$ и $\cos 30^\circ \approx 0{,}866$:
$$F_{\min} = \frac{mg\left(\sin\alpha + \mu\cos\alpha\right)}{\cos\alpha - \mu\sin\alpha} = \frac{5\left(0{,}5 + 0{,}7\cdot0{,}866\right)}{0{,}866 - 0{,}7\cdot0{,}5} \approx 10{,}7\ \text{Н}$$Минимальная горизонтальная сила равна примерно $10{,}7\ \text{Н}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать нормальную составляющую горизонтальной силы при вычислении реакции опоры.
Направить силу трения вверх по плоскости при рассмотрении начала движения вверх.
Использовать условие $F\cos\alpha = \mu mg\cos\alpha$ без учёта составляющей силы тяжести вдоль плоскости.