Решение: Радиус трека альфа-частицы
Ядро покоящегося нейтрального атома, находясь в однородном магнитном поле с индукцией $\vec{B}$, испытывает $\alpha$-распад. При этом рождаются $\alpha$-частица и тяжёлый ион нового элемента. Масса $\alpha$-частицы равна $m_\alpha$, её заряд равен $2|e|$, масса тяжёлого иона равна $M$. Выделившаяся при $\alpha$-распаде энергия $\Delta E$ целиком переходит в кинетическую энергию продуктов реакции. Трек $\alpha$-частицы находится в плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля. Начальная часть трека напоминает дугу окружности. Найдите радиус этой окружности.
Решение по шагам
5 шаговДо распада ядро покоилось, поэтому суммарный импульс продуктов распада равен нулю. Импульсы $\alpha$-частицы и тяжёлого иона противоположны и равны по модулю:
$$\vec p_\alpha + \vec p_I = 0, \qquad p_\alpha = p_I = p$$Выделившаяся энергия переходит в кинетическую энергию продуктов распада:
$$\Delta E = \frac{p^2}{2m_\alpha} + \frac{p^2}{2M}$$Находим импульс альфа-частицы:
$$p^2 = \frac{2\Delta E}{\frac{1}{m_\alpha}+\frac{1}{M}} = \frac{2\Delta E\,m_\alpha M}{m_\alpha+M}$$Так как скорость альфа-частицы перпендикулярна магнитному полю, сила Лоренца играет роль центростремительной силы. Поэтому радиус окружности равен:
$$r = \frac{p_\alpha}{qB} = \frac{p}{2|e|B}$$Подставляем найденное значение импульса:
$$r = \frac{1}{2|e|B}\sqrt{\frac{2\Delta E\,m_\alpha M}{m_\alpha+M}}$$Радиус начальной окружности трека: $\displaystyle r = \frac{1}{2|e|B}\sqrt{\frac{2\Delta E\,m_\alpha M}{m_\alpha+M}}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что вся энергия $\Delta E$ переходит только в кинетическую энергию альфа-частицы, не учитывая отдачу тяжёлого иона.
Использовать в формуле радиуса массу частицы вместо её импульса без предварительного нахождения скорости.
Забыть, что заряд альфа-частицы по модулю равен $2|e|$.
Записать сумму импульсов продуктов как ненулевую, несмотря на покоящееся исходное ядро.