Решение: Равновесие стержня на опорах
Два небольших массивных шара массами $m_1 = 0{,}2\ \text{кг}$ и $m_2 = 0{,}3\ \text{кг}$ закреплены на концах невесомого стержня $AB$, лежащего горизонтально на опорах $C$ и $D$. Длина стержня $AB = 1\ \text{м}$, расстояние $AC = 0{,}2\ \text{м}$, а сила давления стержня на опору $D$ в 2 раза больше, чем на опору $C$. Найдите расстояние между опорами $CD$. Сделайте рисунок с указанием внешних сил, действующих на систему «стержень и шары», и обоснуйте применимость законов, используемых при решении.
Решение по шагам
7 шаговРассмотрим систему «стержень и шары». Внешние силы: силы тяжести $m_1g$ и $m_2g$, направленные вниз, и реакции опор $N_C$ и $N_D$, направленные вверх. Стержень находится в равновесии, поэтому равны нулю сумма сил и сумма моментов.
$$\sum F_y = 0, \qquad \sum M = 0$$По условию сила давления стержня на опору равна по модулю реакции опоры, поэтому $N_D = 2N_C$. Из условия равновесия по вертикали:
$$N_C + N_D = (m_1+m_2)g$$Подставим $N_D = 2N_C$, $m_1=0{,}2\ \text{кг}$ и $m_2=0{,}3\ \text{кг}$:
$$3N_C = 0{,}5g, \qquad N_C = \frac{g}{6}, \qquad N_D = \frac{g}{3}$$Запишем правило моментов относительно опоры $C$. Сила тяжести первого шара создаёт момент против часовой стрелки, а силы тяжести второго шара и реакция опоры $D$ — моменты по часовой стрелке.
$$m_1g\cdot AC + N_D\cdot CD - m_2g\cdot(CB)=0$$Расстояние от опоры $C$ до точки $B$ равно $CB=AB-AC=1-0{,}2=0{,}8\ \text{м}$. Поэтому:
$$0{,}2g\cdot0{,}2 + \frac{g}{3}\cdot CD - 0{,}3g\cdot0{,}8=0$$После сокращения на $g$ получаем:
$$0{,}04 + \frac{CD}{3} - 0{,}24=0, \qquad CD=0{,}6\ \text{м}$$Использование законов статики возможно, поскольку система покоится, стержень считается невесомым и недеформируемым, а действующие силы можно заменить их равнодействующими, приложенными в соответствующих точках.
$CD = 0{,}6\ \text{м}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют плечо силы тяжести второго шара: $CB=AB-AC=0{,}8\ \text{м}$.
Путают силу давления стержня на опору с реакцией опоры по направлению; их модули равны.
Не учитывают момент силы тяжести шара $m_1$ относительно опоры $C$.
Записывают неверные знаки моментов относительно точки $C$.